Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點(diǎn)A，邊CD與⊙O相交于點(diǎn)E，連接AE，BE．

（1）求證：AB=AC；
（2）若過點(diǎn)A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】證明：∵AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點(diǎn)A，

∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，

∴∠DAC=∠ABC，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）

作AF⊥CD于F，

∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，

∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，

∴∠AEH=∠AEF，

在△AEH和△AEF中，

，

∴△AEH≌△AEF，

∴EH=EF，

∴CE+EH=CF，

在△ABH和△ACF中，

，

∴△ABH≌△ACF，

∴BH=CF=CE+EH．

【解析】（1）根據(jù)弦切角定理和圓周角定理證明∠ABC=∠ACB，得到答案；
（2）作AF⊥CD于F，證明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根據(jù)△ABH≌△ACF，得到答案．
【考點(diǎn)精析】利用平行四邊形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．