Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上任意一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：DF=AC； 
（2）若AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的判定,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先證△AEF≌△DEC；再證四邊形ACDF是平行四邊形．
（2）當(dāng)AD∥BF時(shí)，四邊形AFBD是矩形；當(dāng)AD不平行BF時(shí)，四邊形AFBD是等腰梯形．

解答：證明：（1）∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDC，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△EAF和△EDC中

∠EAF=∠EDC AE=DE ∠AEF=∠DEC

∴△EAF≌△EDC（ASA），
∴DC=AF，
又∵AF∥BC，
∴四邊形ACDF是平行四邊形，
∴DF=AC，
（2）四邊形AFBD是矩形．
證明：∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∴四邊形AFBD是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)．要熟知這些判定定理才會(huì)靈活運(yùn)用，根據(jù)性質(zhì)才能得到需要的相等關(guān)系．