【題目】(本題10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn),與x軸的正半軸交于另一點(diǎn)A,且OA :OC="2" :7.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D為線段CB上,點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)拋物線上,PD=PB,當(dāng)tan∠PDB=2,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)Q(7,m)在第四象限內(nèi),點(diǎn)R在對(duì)稱軸的右側(cè)拋物線上,若以點(diǎn)P、D、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求點(diǎn)Q、R的坐標(biāo).
【答案】(1)y=-x2+x-7 ;(2)P(8,-3);
(3)R(10,-12),Q(7,-11)或R(6,2),Q(7,-7)
【解析】試題分析:(1)有直線解析式可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo),再利用OA :OC="2" :7.求出A的坐標(biāo).最后把A、C代入拋物線解析式求出即可.
(2)先求出B的坐標(biāo)可得∠OCB=∠OBC=45°,又過P作PE⊥BC于點(diǎn)E,所以∠CFG=∠OCB==45°就得到線段EF、BF、EP的數(shù)量關(guān)系;又tan∠PDB=2可以得到線段EP、DE、PD的數(shù)量關(guān)系,然后設(shè)出P、F的坐標(biāo)利用他們的縱坐標(biāo)相等即可求出點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若以點(diǎn)P、D、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形有兩種情況:線段PD有可能是邊也有可能是對(duì)角線.
當(dāng)PD是邊時(shí),即DP∥QR時(shí),∵B(7,0),Q(7,n)∴BQ∥y軸
過P作PN∥BQ,過D作DN⊥BQ交PN于點(diǎn)N,過R作RM⊥BQ于點(diǎn)M. 設(shè)PD交BQ于點(diǎn)T,DN交BM于點(diǎn)I
即可證明△RMQ≌△DNP,再求出D點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)R點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,∵RM=DN,∴t-7=8-5解得t=10,再把t=10帶入拋物線即可求出R、Q;當(dāng)PD是對(duì)角線時(shí),同理求出.
試題解析:(1)∵直線y=kx-7與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C ∴C(0,-7) ∴OC=7
∵拋物線y=ax2+bx+14a經(jīng)過點(diǎn)C,∴14a=-7,∴a =-∴y=-x2+bx-7
∵OA :OC="2" :7.∴OA=2,∴A(2,0)∵拋物線y=-x2+bx-7經(jīng)過點(diǎn)A
∴b=∴拋物線的解析式為y=-x2+x-7
(2)如圖1,∵拋物線y=-x2+x-7經(jīng)過B點(diǎn), 令y=0解得x=7或x=2(舍)∴B(7,0)
∴OB=7∴OC=OB∴∠OCB=∠OBC=45°
過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)G,交CB延長線于點(diǎn)F,
則PF∥y軸,∴∠CFG=∠OCB==45°
∴BF=GF
過P作PE⊥BC于點(diǎn)E,
∵PD=PB
∴∠PBD=∠PDB
∴tan∠PBD=tan∠PDB=2
∴PE=2BE
∵EF=PE ∴BF=BE
∴PF=PE=2BE=2BF=4GF,
∴PG="3GF"
∵直線y=kx-7過B點(diǎn) ∴k=1 ∴y=x-7
設(shè)F(),則P()
因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y=-x2+x-7上,
所以,
解得m=7(舍)或m=8
∴P(8,-3)
如圖2,當(dāng)DP∥QR時(shí),即四邊形DQRP是平行四邊形 ∵B(7,0),Q(7,n)∴BQ∥y軸
過P作PN∥BQ,過D作DN⊥BQ交PN于點(diǎn)N,
過R作RM⊥BQ于點(diǎn)M.
設(shè)PD交BQ于點(diǎn)T,DN交BM于點(diǎn)I
∴∠DTB=∠DPN,∠PTQ=∠RQM, ∵∠DTB=∠PTQ
∴∠DPN=∠RQM
∵四邊形DPRQ是平行四邊形
∴DP=RQ
∵∠RMQ=∠DNP,∴△RMQ≌△DNP
∴RM=DN,MQ=PN
由(2)可求F(8,1),GF=1,BD=2BE=BF=
∵∠QBC=45°,∴BI=DI=2 ∴D(5,-2)
設(shè)R點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,∵RM=DN,∴t-7=8-5
解得t=10
∵點(diǎn)R在拋物線y=-x2+x-7 上,
∴當(dāng)t=10時(shí),
∴R(10,-12)
∵M(jìn)Q=PN
∴3-2=-12-n,∴n=-11
∴R(10,-12),Q(7,-11)
如圖3,當(dāng)DR∥QP時(shí),即四邊形DQPR是平行四邊形
同理可求得R(6,2),Q(7,-7)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a,B點(diǎn)示數(shù)b,C點(diǎn)表示數(shù)c,b是最小的正整數(shù),且a,b滿足 +(c-7)2=0.
(1) a= ,b= ,c= .
(2) 若將數(shù)軸折疊,使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合,則點(diǎn)B與數(shù) 表示的點(diǎn)重合.
(3) 點(diǎn)A,B,C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長度和4個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng),假設(shè)t秒鐘過后,若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB,點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC.則AB= ,AC= ,BC= .(用含t的代數(shù)式表示)
(4) 請(qǐng)問:3BC-2AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變? 若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,請(qǐng)求其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織了一次防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校園欺凌及其他各種安全意識(shí)的調(diào)查活動(dòng),了解同學(xué)們在哪些方面的安全意識(shí)薄弱,便于今后更好地開展安全教育活動(dòng).根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制出圖1,圖2兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解答下列問題:
(1)本次調(diào)查的人數(shù)為___________,其中防校園欺凌意識(shí)薄弱的人數(shù)占_________%;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校共有1500名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生中防溺水意識(shí)薄弱的人數(shù);
(4)請(qǐng)你根據(jù)題中的信息,給該校的安全教育提一個(gè)合理的建議.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為積極響應(yīng)政府提出的“綠色發(fā)展低碳出行”號(hào)召,某自行車廠決定生產(chǎn)一批共享單車投入市場.該廠原計(jì)劃一周生產(chǎn)1400輛共享單車,平均每天生產(chǎn)200輛,由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入.下表是某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)):
⑴根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn) 輛;
⑵產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn) 輛;
⑶該廠實(shí)行每周計(jì)件工資制,每生產(chǎn)一輛車可得60元,若超額完成任務(wù),則超過部分每輛另獎(jiǎng)15元;少生產(chǎn)一輛扣15元,那么該廠工人這一周的工資總額是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,l1反映了某公司銷售一種醫(yī)療器械的銷售收入(萬元)與銷售量(臺(tái))之間的關(guān)系,l2反映了該公司銷售該種醫(yī)療器械的銷售成本(萬元)與銷售量(臺(tái))之間的關(guān)系.當(dāng)銷售收入大于銷售成本時(shí),該醫(yī)療器械才開始贏利.根據(jù)圖象,則下列判斷中錯(cuò)誤的是( )
A. 當(dāng)銷售量為4臺(tái)時(shí),該公司贏利4萬元
B. 當(dāng)銷售量多于4臺(tái)時(shí),該公司才開始贏利
C. 當(dāng)銷售量為2臺(tái)時(shí),該公司虧本1萬元
D. 當(dāng)銷售量為6臺(tái)時(shí),該公司贏利1萬元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】6月14日是“世界獻(xiàn)血日”,某市采取自愿報(bào)名的方式組織市民義務(wù)獻(xiàn)血.獻(xiàn)血時(shí)要對(duì)獻(xiàn)血者的血型進(jìn)行檢測,檢測結(jié)果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4種類型.在獻(xiàn)血者人群中,隨機(jī)抽取了部分獻(xiàn)血者的血型結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果制作了兩幅不完整的圖表:
血型 | A | B | AB | O |
人數(shù) |
| 10 | 5 |
|
(1)這次隨機(jī)抽取的獻(xiàn)血者人數(shù)為 人,m= ;
(2)補(bǔ)全上表中的數(shù)據(jù);
(3)若這次活動(dòng)中該市有3000人義務(wù)獻(xiàn)血,請(qǐng)你根據(jù)抽樣結(jié)果回答:
從獻(xiàn)血者人群中任抽取一人,其血型是A型的概率是多少?并估計(jì)這3000人中大約有多少人是A型血?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小敏為了解本市的空氣質(zhì)量情況,從市環(huán)保局隨機(jī)抽取了若干天的空氣質(zhì)量情況作為標(biāo)本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖(部分信息為給出)
請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中共抽取了多少天的空氣質(zhì)量情況作為標(biāo)本?
(2)求輕微污染天數(shù)并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)請(qǐng)你估計(jì)該市這一年(365天)空氣質(zhì)量達(dá)到“優(yōu)”和“良”的總天數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料、并完成任務(wù).
無限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)
我們知道分?jǐn)?shù)寫出小數(shù)形式即,反過來,無限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)形式即,一般地,任何一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)形式.
先以無限循環(huán)小數(shù)為例進(jìn)行討論.
設(shè),由可知,,所以,解方程,得,于是,得.
再以無限循環(huán)小數(shù)為例,做進(jìn)一步的討論.
無限循環(huán)小數(shù),它的循環(huán)節(jié)有兩位,類比上面的討論可以想到如下做法.
設(shè),由可知,.
所以.解方程,得,于是,.
類比應(yīng)用(直接寫出答案,不寫過程)
① .② .③ .
能力提升
將化為分?jǐn)?shù)形式,寫出過程.
拓展探究
① ;
②比較大小 1(填“”或“”或“”);
③若,則 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,在以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立的平面直角坐標(biāo)系中,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至y軸的正半軸上的A′處,若AO=OB=2,則陰影部分面積為( 。
A. π B. π﹣1 C. +1 D.
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