Question

如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限，四邊形OABC是矩形，OA=8，OC=6．反比例函數(shù)y₁=

k

x

（x＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，BE=3CE．
（1）求k的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為y₂=mx+n，求m和n的值，并根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式

k

x

＜mx+n的解集；
（3）連接OE、OD，在線(xiàn)段OA上是否存在點(diǎn)P，使得△EDP∽△PDA？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）先根據(jù)題意得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，6），根據(jù)待定系數(shù)法可得k的值，再根據(jù)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為8，且也在反比例函數(shù)上，代入反比例函數(shù)得到D坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法得到方程組，得到m和n的值，再根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式

k

x

＜mx+n的解集；
（3）設(shè)所求點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，0），其中0＜a＜8，可得PA=8-a，ED=

(8-2)2+(6- 3 2 )2

=

15

2

，PD=

(8-a)2+( 3 2 )2

，DA=

3

2

，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例得到關(guān)于a的方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）已知BC=OA=8，BE=3CE，
那么BE=6，CE=2，
所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，6），
點(diǎn)E在反比例函數(shù)上，代入得到k=12，
函數(shù)方程為y₁=

12

x

，
點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為8，且也在反比例函數(shù)上，代入反比例函數(shù)得到D坐標(biāo)為（8，

3

2

）；

（2）將已求得的兩點(diǎn)D，E的坐標(biāo)值代入所求直線(xiàn)方程得到

2m+n=6 8m+n= 3 2

解得

m=- 3 4 n= 15 2

．
故所求不等式為

12

x

＜-

3

4

x+

15

2

，不等式解集為2＜x＜8；

（3）設(shè)所求點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，0），其中0＜a＜8，
∵△EDP∽△PDA，PA=8-a，ED=

(8-2)2+(6- 3 2 )2

=

15

2

，PD=

(8-a)2+( 3 2 )2

，DA=

3

2

，
∴ED：PD=DP：DA，
∴

15

2

：

(8-a)2+( 3 2 )2

=

(8-a)2+( 3 2 )2

：

3

2

解得a=5或11（不合題意）．
故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，0）．

點(diǎn)評(píng)：考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，一次函數(shù)，根據(jù)圖象求不等式的解集，相似三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，方程思想的運(yùn)用．