Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于點(diǎn)O，E為AC上一點(diǎn)，且AE=OC．
（1）求證：△AOP是等腰三角形；
（2）求證：PE⊥AO．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：證明題

分析：（1）利用等角的余角相等得到∠BOC=∠APB，再利用對(duì)頂角相等，等量代換得到∠AOP=∠APB，利用等角對(duì)等邊即可得證；
（2）如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，由BP為角平分線，利用角平分線定理得到OC=OD，根據(jù)AE=OD，等量代換得到AE=OD，利用同角的余角相等得到夾角相等，利用SAS得到三角形AOD與三角形PAE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可得證．

解答：證明：（1）∵∠C=90°，∠BAP=90°，
∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠CBO=∠ABP，
∴∠BOC=∠APB，
∵∠BOC=∠AOP，
∴∠AOP=∠APB，
∴AP=AO，
∴△AOP是等腰三角形；
（2）證明：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，
∵∠CBO=∠ABP，OC⊥BC，OD⊥BA，
∴CO=DO，
∵AE=OC，
∴AE=OD，
∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，
∴∠AOD=∠PAE，
在△AOD和△PAE中，

AE=OD ∠AOD=∠PAE AP=AO

，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP=∠ADO=90°，
∴PE⊥AO．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．