Question

如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，⊙O分別切邊AB、BC于D、E兩點，交AC于G、F兩點．

（1）如圖1，當FG=

1

2

時，求⊙O的直徑；
（2）如圖2，求∠DEF的度數(shù)．

Answer 1

考點：切線的性質,等邊三角形的性質,含30度角的直角三角形,勾股定理,垂徑定理

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接BO并延長，交圓O于H，連接OD，OE，由圓O于AB及AC相切，利用切線的性質得到OD與AB垂直，OE與BC垂直，又圓的半徑OD=OE，根據(jù)角平分線的逆定理得到BH為角平分線，再由三角形ABC為等邊三角形，根據(jù)三線合一得到BH與AC垂直，即OH垂直于GF，利用垂徑定理可得H為GF的中點，同時得出∠ABH為30°，在直角三角形BOD中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得OB=2OD，根據(jù)等邊三角形的邊長為1，求出高BH的長，設圓O的半徑為r，由BH-BO表示出OH，在直角三角形OHG中，利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解得到r的值；
（2）連接OE，由圓O與BC相切，可得OE垂直于BC，由三角形ABC為等邊三角形，可得∠C為60°，進而利用三角形的內角和定理求出∠EOC為30°，又∵BD與BE都與圓O相切，根據(jù)切線長定理得到BD=BE，又∵∠B為60°，可得三角形BDE為等邊三角形，推出∠BDE=∠BAC=60°，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得DE與AC平行，根據(jù)兩直線平行內錯角相等可得OED=∠COE=30°，又∵OE=OF，根據(jù)等邊對等角可得一對底角相等，由頂角的度數(shù)求出底角∠OEF的度數(shù)，利用∠DEF=∠OED+∠OEF即可求出∠DEF的度數(shù)．

解答：解：（1）連接BO并延長，交GF于點H，連接OD，OE，
∵圓O于AB、AC相切，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，又OD=OE，
∴BE平分∠ABC，又△ABC為等邊三角形，
∴BH⊥GF，
∴H為GF的中點，BH為∠ABC的平分線，
∴∠ABH=

1

2

∠ABC=30°，
∴OD=

1

2

OB，
又FG=

1

2

，
∴GH=FH=

1

2

GF=

1

4

，
∵等邊三角形ABC的邊長為1，
∴BH=

AB2-AH2

=

3

2

，
設圓O的半徑為r，則OB=2r，OH=BH-OB=

3

2

-2r，
在Rt△OGH中，OG²=GH²+OH²，即r²=（

1

4

）²+（

3

2

-2r）²，
整理得：48r²-32

3

r+13=0，
解得：r=

4 3 ±3

12

，
∵

3

2

-2r＞0，可得r＜

3

4

，
∴r=

4 3 +3

12

不合題意，舍去，
則圓的直徑2r=

4 3 -3

6

；


（2）連接EO，∵圓O與BC相切，E為切點，
∴OE⊥BC，
由∠C=60°，在直角三角形OEC中，∠COE=90°-∠C=30°，
∵圓O分別切邊AB、BC于D、E兩點，
∴BD=BE，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE=∠BAC=60°，
∴DE∥AC，
∴∠OED=∠COE=30°，
又∵OE=OF，
∴∠OEF=75°，
∴∠DEF=∠OED+∠OEF=30°+75°=105°．

點評：此題考查了切線的性質，等邊三角形的判定與性質，平行線的性質，垂徑定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．