Question

如圖所示，△ABC中，AC=BC，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，作直線DF⊥AC交AC于點F，交CB的延長線于點E．
（1）求證：直線EF四⊙O的切線；
（2）若BC=6，AB=4

3

，求DE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結OD，如圖，通過證明OD∥AC，加上DF⊥AC，于是可得到DF⊥OD，然后根據(jù)切線的判定定理可得DF為⊙O的切線；，
（2）連結CD，作DH⊥BC于H，如圖，先利用圓周角定理得到∠BDC=90°，則根據(jù)等腰三角形的性質得BD=AD=

1

2

AB=2

3

，在Rt△BDC中可利用勾股定理計算出CD=2

6

，再利用面積法克計算出DH=2

2

，接著根據(jù)勾股定理計算出OH=1，然后證明Rt△ODH∽Rt△OED，利用相似比可計算出DE．

解答：（1）證明：連結OD，如圖，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠A，
∴OD∥AC，
而DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF為⊙O的切線；
（2）解：連結CD，作DH⊥BC于H，如圖，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
而CA=CB，
∴BD=AD=

1

2

AB=2

3

，
在Rt△BDC中，CD=

BC2-BD2

=2

6

，
∵

1

2

DH•BC=

1

2

DE•CD，
∴DH=

2 3 ×2 6

6

=2

2

，
在Rt△ODH中，OH=

OD2-DH2

=1，
∵∠DOH=∠EOD，
∴Rt△ODH∽Rt△OED，
∴

DH

DE

=

OH

OD

，即

2 2

DE

=

1

3

，
∴DE=6

2

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質．