Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過AC的中點(diǎn)D，DE切⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE⊥BC；     
（2）如果∠A=30°，BE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）DE是切線，則OD⊥DE，連接OD，則OD是△ABC的中位線，據(jù)此即可求證；
（2）連接BD，易證∠BDE=30°，則BD即可求得，然后證明△OBD是等邊三角形，即可求解．

解答：解：（1）連接OD．
∵O是AB的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，
∴OD∥BC，
又∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥BC；

（2）連接BD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠AD0=30°，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠ODE=90°，
∴∠BDE=∠ADO=30°，
∴BD=2BE=4，∠DOB=60°，
∴△BOD是等邊三角形．
∴⊙O的半徑是4．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確求得∠BDE的度數(shù)是關(guān)鍵．