Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD、BC和CD分別與⊙O相切于點A、B和E，DA=3.6，CB=6.4，
（1）判斷CO與OD是否垂直？
（2）求⊙O的半徑和圖中陰影部分的面積（精確到0.01）．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：根據(jù)切線長定理得出OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，從而求得∠1=∠2，∠3=∠4，然后即可得出∠2+∠3=90°，從而證得CO⊥OD；
（2）由∠A=∠B=90°，利用切線的性質(zhì)得到AD與BC都與圓O相切，再由CD與圓相切，利用切線長定理得到AD=DE，CE=CB，可得出CD=DE+CE=AD+BC，

解答：解：（1）連接OE，如圖1，
∵AD、BC和CD分別與⊙O相切于點A、B和E，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，OE⊥DC，∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO，
∴∠1=2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°，
即∠DOC=90°，
∴CO⊥DO；
（2）∵AB為⊙O的直徑，OA⊥AD，OB⊥BC，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是直角梯形，
∴AD、BC均為⊙O的切線，
又CD與⊙O相切于點E，
∴DE=DA，CE=CB，
∴CD=AD+BC=10，
如圖2，過D作DF⊥BC，則AD=BF=3.6，AB=DF，
∴CF=6.4-3.6=2.8，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF²+FC²=CD²，
∴DF=

CD2-CF2

=

102-2．82

≈9.60．
∴AB=9.60，
∴⊙O的半徑為4.80，
∴S_陰影=S_梯形-S_半圓=

1

2

×10×9.60-

π×4.802

2

=48-36.17=11.83．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，以及半圓的面積，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．