Question

Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖①，且∠α=50°，則∠1+∠2=

 

；
（2）若點(diǎn)P在斜邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖②，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為

 

；
（3）如圖③，若點(diǎn)P在斜邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)（CE＜CD），請(qǐng)直接寫出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系：

 

；
（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外（只需研究圖④情形），則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）連接PC，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性質(zhì)分三種情況討論即可；
（4）利用三角形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得出．

解答：解：（1）如圖，連接PC，
∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，
∴∠1+∠2=50°+90°=140°，
故答案為：140°；

（2）連接PC，
∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠C=90°，∠DPE=∠α，
∴∠1+∠2=90°+∠α；
故答案為：∠1+∠2=90°+∠α；

（3）如圖1，
∵∠2=∠C+∠1+∠α，
∴∠2-∠1=90°+∠α；
如圖2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；
如圖3，∵∠2=∠1-∠α+∠C，
∴∠1-∠2=∠α-90°．

故答案為；∠2-∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1-∠2=∠α-90°．

（4）

∵∠PFD=∠EFC，
∴180°-∠PFD=180°-∠EFC，
∴∠α+180°-∠1=∠C+180°-∠2，
∴∠2=90°+∠1-α．
故答案為：∠2=90°+∠1-α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)、對(duì)頂角相等的性質(zhì)，熟練利用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．