Question

【題目】如圖，線段AB ， AD交于點A ． C為直線AD上一點（不與點A ， D重合）．過點C在BC的右側(cè)作射線CE⊥BC ， 過點D作直線DF∥AB ， 交CE于點G（G與D不重合）．

（1）如圖1，若點C在線段AD上，且∠BCA為鈍角．①按要求補全圖形；②判斷∠B與∠CGD的數(shù)量關系，并證明．
（2）若點C在線段DA的延長線上，請直接寫出∠B與∠CGD的數(shù)量關系；
（3）請你結(jié)合本題的題意提出一個新的拓展問題 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①補全圖形如圖

②判斷：∠CGD-∠B=90°．

證明 ：過點C作CH∥AB，

∴ ∠1=∠B（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

∵ AB∥DF（已知），

∴ CH∥DF（平行于同一直線的兩直線平行）．

∴ ∠2+∠HCG=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補） ．

∵ CE⊥BC（已知），

∴ ∠1+∠HCG=90°（垂直的定義）．

∴ ∠CGD-∠B=90°

（2）∠CGD+∠B=90°
（3）若點C在線段AD的延長線上，∠B與∠CGD的數(shù)量關系是否會發(fā)生變化？
若點C在線段AD的延長線上，∠B與∠CGD的數(shù)量關系是否會發(fā)生變化？
若點C在線段AD上，且∠BCA為銳角時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？
【解析】(1)①補全圖形見解析；②先作輔助線，由∠2+∠HCG=180°和∠1+∠HCG=90°，推出結(jié)論∠CGD-∠B=90°即可；
(2)由（1）中②的結(jié)論可推導出結(jié)論∠CGD+∠B=90°. 附加題見解析.
(3)1.若點C在線段AD的延長線上，∠B與∠CGD的數(shù)量關系是否會發(fā)生變化？
2．若點C在線段AD上，且∠BCA為銳角時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？
【考點精析】本題主要考查了垂線的性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì)的相關知識點，需要掌握垂線的性質(zhì)：1、過一點有且只有一條直線與己知直線垂直．2、垂線段最短；由角的相等或互補（數(shù)量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數(shù)量關系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)才能正確解答此題．