Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，3）．
（1）填空：AB=

 

；
（2）點P從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿AO方向運動，點Q從B點出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動，若P、Q兩點同時出發(fā)，且運動時間為t秒（0≤t≤5），當(dāng)t為何值時，△APQ是等腰三角形？
（3）二次函數(shù)y=x²-mx+n的圖象經(jīng)過點B，當(dāng)-1≤x≤1時，二次函數(shù)有最小值-3，求m、n的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由勾股定理可以直接求出AB的值；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)分類討論，如圖1．圖2，圖3，就可以求出結(jié)論；
（3）先由點B的坐標(biāo)在拋物線上代入解析式就可以求出的值，再由對稱軸求出m的取值范圍，分類討論就可以求出m的值．

解答：解：（1）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=5．
故答案為：5；     

（2）AP=2t，AQ=5-t．
∵△APQ是等腰三角形
∴當(dāng)PQ=AP時，如圖1，過P作PM⊥AB，垂足為M，
∴AM=

1

2

AB=

5-t

2

．∠AMP=90°，
∴Cos∠OAB=

AM

PA

=

OA

AB

，
∴

5-t 2

2t

=

4

5

，
解得：t=

25

21

；
當(dāng)AQ=AP時，如圖2，
∴2t=5-t
∴t=

5

3

；
當(dāng)PQ=AQ時  過Q作QN⊥AO，垂足為N
AN=

1

2

AP=t，∠ANQ=90°，
∴Cos∠OAB=

AN

AQ

=

OA

AB

，
∴

t

5-t

=

4

5

，
解得：t=

20

9

；

（3）二次函數(shù)y=x²-mx+n的圖象經(jīng)過點B，
∴n=3．
二次函數(shù)的對稱軸為x=

m

2

．
當(dāng)

m

2

≤-1時，即m≤-2
∴當(dāng)x=-1，y的最小值-3，
∴-3=1+m+3 
解得：m=-7；        
當(dāng)-1＜

m

2

＜1時，即-2＜m＜2
此時當(dāng)x=

m

2

，y的最小值-3 
∴-3=

m2

4

-

m2

2

+3
解得：m=±2

6

不合題意舍去；
當(dāng)

m

2

≥1時，即m≥2
當(dāng)x=1，y的最小值-3，
∴-3=1-m+3，
解得：m=7．
∴n的值為3，m的值為±7．

點評：本題考查了點的坐標(biāo)的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，三角形函數(shù)值的運用，分類討論思想的運用，二次函數(shù)的頂點式的運用，解答時運用待定系數(shù)法求解是關(guān)鍵．