Question

如圖，直線y=-

3

3

x+4分別與x、y軸交于點 A、B，以O(shè)B為直徑作⊙M，⊙M與直線AB的另一個交點為D．
（1）求∠BAO的大��；
（2）求點D的坐標(biāo)；
（3）過O、D、A三點作拋物線，點Q是拋物線的對稱軸l上的動點，探求：|QO-QD|的最大值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長度，再求出∠BAO的正切值，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可；
（2）連接OD，過D作DE⊥OA于點E，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠BDO=90°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OD，直角三角形兩銳角互余求出∠DOE=60°，然后解直角三角形求出OE、DE，再寫出點D的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得拋物線的對稱軸為OA的垂直平分線，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出點Q為OD與對稱軸的交點時|QO-QD|=OD的值最大，然后求解即可．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

3

x+4分別與x、y軸交于點A、B，
∴當(dāng)y=0時，-

3

3

x+4=0，解得x=4

3

；
當(dāng)x=0時，y=4，
∴A（4

3

，0），B（0，4）．
∴OA=4

3

，OB=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=

OB

OA

=

4

4 3

=

3

3

，
∴∠BAO=30°；

（2）連接OD，過D作DE⊥OA于點E，
∵OB是⊙M的直徑，
∴∠BDO=∠ADO=90°，
在Rt△AOD中，∵∠BAO=30°，
∴OD=

1

2

OA=

1

2

×4

3

=2

3

，
∠DOE=60°，
在Rt△DOE中，OE=OD•cos∠DOE=2

3

×

1

2

=

3

，
DE=OD•sin∠DOE=2

3

×

3

2

=3，
∴點D的坐標(biāo)為（

3

，3）；

（3）易知對稱軸l是OA的垂直平分線，延長OD交對稱軸l于點Q，
此時|QO-QD|=OD的值最大，
理由：設(shè)Q′為對稱軸l上另一點，連接OQ′，DQ′，
則在△ODQ′中，|Q′O-Q′D|＜OD，
∴|QO-QD|的最大值=OD=2

3

．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點的求解，直徑所對的圓周角是直角，銳角三角函數(shù)定義，解直角三角形，二次函數(shù)的對稱性，三角形的三邊關(guān)系，（3）判斷出點Q為直線OD與對稱軸的交點是解題的關(guān)鍵．