Question

類比、轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法和數(shù)學(xué)基本圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
（1）如圖1，在⊙O中，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)B，CD⊥MN于點(diǎn)D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，則BD=

 

；
（2）嘗試探究：如圖2，在⊙O中，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)B，CD⊥MN于點(diǎn)D，點(diǎn)E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：DE=1：3，求CD的長(zhǎng)；
（3）類比延伸：利用圖3探究，當(dāng)A、C兩點(diǎn)分別在直徑MN兩側(cè)，且AB≠CD，AB⊥MN于點(diǎn)B，CD⊥MN于點(diǎn)D，∠AOC=90°時(shí)，請(qǐng)寫出線段AB、CD、BD之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先利用等角的余角相等得到∠A=∠DOC，再根據(jù)“AAS”可判斷△ABO≌△ODC，則AB=OD=3，OB=CD=4，所以BD=OB+OD=7；
（2）先利用BD=8，BE：DE=1：3計(jì)算出BE=

1

4

BD=2，DE=

3

4

BD=6，再證明Rt△ABE∽R(shí)t△EDC，然后利用相似比可計(jì)算出CD=4；
（3）分類討論：如圖3（a），與（1）一樣可證明△ABO≌△ODC，則OB=CD，AB=OD，于是有BD=CD-AB；如圖3（b）與（1）一樣可證△ABO≌△ODC，則AB=OD，OB=CD，所以BD=AB-CD．

解答：解：（1）∵AB⊥MN于點(diǎn)B，CD⊥MN于點(diǎn)D，
∴∠ABO=∠ODC=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠DOC+∠AOB=90°，
∴∠A=∠DOC，
在△ABO和△ODC中，

∠ABO=∠ODC ∠A=∠DOC OA=OC

，
∴△ABO≌△ODC，
∴AB=OD=3，OB=CD=4，
∴BD=OB+OD=7；
故答案為7；

（2）∵BD=8，BE：DE=1：3，
∴BE=

1

4

BD=2，DE=

3

4

BD=6，
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴∠ABE=∠CDE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEC=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠DEC，
∴Rt△ABE∽R(shí)t△EDC，
∴

AB

DE

=

BE

CD

，即

3

6

=

2

CD

，
∴CD=4；

（3）如圖3（a），與（1）一樣可證明△ABO≌△ODC，則OB=CD，AB=OD，所以BD=CD-AB；
如圖3（b）可證△ABO≌△ODC，則AB=OD，OB=CD，所以BD=AB-CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算線段的長(zhǎng)；會(huì)運(yùn)用類比、轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法．