Question

已知：如圖，C是線段BD上一點(diǎn)，△ABC和△ECD都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形ABDE各邊的中點(diǎn)，求證：四邊形RFGH是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：證明題

分析：連接AD與B C，首先證得△BCE≌△ACD，即可得到AD=BE，然后利用三角形的中位線定理證得四邊形RFGH的對(duì)邊平行且相等，并且鄰邊相等，從而證得四邊形RFGH是菱形．

解答：證明：連接AD、BE；
∵△ABC和△ECD是等邊三角形，
∴BC=AC，EC=BA，∠AED=∠BEC=60°；
∴∠AEC=∠DEB=120°；
在△BCE與△ACD中，

AC=BC ∠BCE=∠ACD EC=DC

，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
∴AD=BE；
∵H、R是AE、AB的中點(diǎn)，
∴HR是△ABE的中位線，即HR=

1

2

BE，
同理可證得：RF=

1

2

AD，F(xiàn)G=

1

2

BE，HG=

1

2

AD，
∴HR=RF=FG=GH，
∴四邊形RFGH是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是中點(diǎn)四邊形，能發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建出全等三角形，是解答本題的關(guān)鍵．