Question

如圖所示，某拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，0），B（3，0），其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）．
（1）求拋物線的表達(dá)式（用兩種不同方法解）；
（2）若拋物線與y軸交于C點(diǎn)，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）利用頂點(diǎn)式方程和交點(diǎn)式方程進(jìn)行解答；
（2）利用（1）中拋物線的解析式求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后由三角形的面積公式進(jìn)行解答即可．

解答：解：（1）方法一：設(shè)該拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3）（a≠0）．
把點(diǎn)（1，-4）的坐標(biāo)代入，得
a（1+1）（1-3）=-4，
解得 a=1，
則該拋物線的解析式為：y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，即y=x²-2x-3；
方法二：設(shè)該拋物線的解析式為：y=k（x-1）²-4（a≠0）．
把A（-1，0）代入，得
k（-1-1）²-4=0，即4k-4=0，解得 k=1，
則該拋物線的解析式為：y=（x-1）²-4=x²-2x-3，即y=x²-2x-3；

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y=x²-2x-3．則C（0，-3）．
故OC=3．
又∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴△ABC的面積=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6，即△ABC的面積是6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．