【題目】(本題滿分10分)(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,ACB和DCE均為等邊三角形,點A、D、E在同一直線上,連接BE,

填空:AEB的度數(shù)為

線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是

(2)拓展探究

如圖2,ACB和DCE均為等腰直角三角形,ACB=DCE=900, 點A、D、E在同一直線上,CM為DCE中DE邊上的高,連接BE.請判斷AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

(3)解決問題如圖3,在正方形ABCD中,CD=.若點P滿足PD=1,且BPD=900,請直接寫出點A到BP的距離.

【答案】(1)60;AD=BE;(2)AEB=900;AE=2CM+BE,理由見試題解析;(3)

【解析】

試題分析(1)由條件易證ACD≌△BCE,從而得到:AD=BE,ADC=BEC.由點A,D,E在同一直線上可求出ADC,從而可以求出AEB的度數(shù).

(2)仿照(1)中的解法可求出AEB的度數(shù),證出AD=BE;由DCE為等腰直角三角形及CM為DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME,從而證到AE=2CH+BE.

(3)由PD=1可得:點P在以點D為圓心,1為半徑的圓上;由BPD=90°可得:點P在以BD為直徑的圓上.顯然,點P是這兩個圓的交點,由于兩圓有兩個交點,接下來需對兩個位置分別進(jìn)行討論.然后,添加適當(dāng)?shù)妮o助線,借助于(2)中的結(jié)論即可解決問題.

試題解析:(1)如圖1,

∵△ACB和DCE均為等邊三角形,CA=CB,CD=CE,ACB=DCE=60°.∴∠ACD=BCE.

ACD和BCE中,AC=BC,ACD=BCE,CD=CE,

∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=BEC.

∵△DCE為等邊三角形,∴∠CDE=CED=60°.

點A,D,E在同一直線上,∴∠ADC=120°∴∠BEC=120°,∴∠AEB=BEC﹣CED=60°.

故答案為:60°.

②∵△ACD≌△BCE,AD=BE.故答案為:AD=BE.

(2)AEB=90°,AE=BE+2CM.

理由:如圖2,

∵△ACB和DCE均為等腰直角三角形,CA=CB,CD=CE,ACB=DCE=90°∴∠ACD=BCE.

ACD和BCE中,CA=CB,ACD=BCE,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS)

AD=BE,ADC=BEC.

∵△DCE為等腰直角三角形,∴∠CDE=CED=45°.

點A,D,E在同一直線上,∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°,∴∠AEB=BEC﹣CED=90°.

CD=CE,CMDE,DM=ME,

∵∠DCE=90°,DM=ME=CM,AE=AD+DE=BE+2CM.

(3)PD=1,點P在以點D為圓心,1為半徑的圓上.

∵∠BPD=90°,點P在以BD為直徑的圓上,點P是這兩圓的交點.

當(dāng)點P在如圖3所示位置時,

連接PD、PB、PA,作AHBP,垂足為H,

過點A作AEAP,交BP于點E,如圖3

四邊形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°.AB=AD=DC=BC=,BAD=90°BD=2.

DP=1,BP=

A、P、D、B四點共圓,∴∠APB=ADB=45°∴△PAE是等腰直角三角形.

∵△BAD是等腰直角三角形,點B、E、P共線,AHBP,由(2)中的結(jié)論可得:BP=2AH+PD.

=2AH+1,AH=

當(dāng)點P在如圖3所示位置時,

連接PD、PB、PA,作AHBP,垂足為H,

過點A作AEAP,交PB的延長線于點E,如圖3

同理可得:BP=2AH﹣PD=2AH﹣1,AH=

綜上所述:點A到BP的距離為

練習(xí)冊系列答案
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(2)連接CD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的長,又由OEAB,證得根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得的長,然后利用三角函數(shù)的知識,求得的長,然后利用SADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.

試題解析:(1)證明:連接OD,

OEAB

∴∠COE=CAD,EOD=ODA

OA=OD,

∴∠OAD=ODA,

∴∠COE=DOE,

在△COE和△DOE中,

∴△COE≌△DOE(SAS),

EDOD,

ED的切線;

(2)連接CD,交OEM

RtODE中,

OD=32,DE=2,

OEAB,

∴△COE∽△CAB,

AB=5,

AC是直徑,

EFAB,

SADF=S梯形ABEFS梯形DBEF

∴△ADF的面積為

型】解答
結(jié)束】
25

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