Question

【題目】“綜合與實(shí)踐”是以問題為中心，以活動(dòng)為平臺(tái)，以解決某一實(shí)際的數(shù)學(xué)問題為目標(biāo)，綜合應(yīng)用知識(shí)和方法解決問題，它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的延伸和發(fā)展，是對(duì)理解、運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的升華過程．請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來研究和解決以下問題吧．

（1）探究：已知是平面上一個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，若，，則當(dāng)點(diǎn)位于 時(shí)，線段的長(zhǎng)最小，最小值為 ；若，，則當(dāng)點(diǎn)位于 時(shí)，線段的長(zhǎng)最小，最小值為 ；

（2）應(yīng)用：已知是一運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，，，如圖①所示，分別以為邊作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，連接和．

①在圖中找出與相等的線段，并說明理由；

②何時(shí)線段可以取得最小值？請(qǐng)直接寫出線段的最小值；

（3）拓展：如圖②，在矩形中，，，為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與邊交于點(diǎn)，現(xiàn)將圖中與分別沿與翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)分別落在矩形內(nèi)的點(diǎn)，處，連接，則的長(zhǎng)有最小值嗎？若有，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)的最小值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）線段上，2；線段的延長(zhǎng)線上，2；（2）①，理由見詳解；②當(dāng)點(diǎn)C在AB上時(shí)，AE的值最小，最小值為；（3）有最小值，最小值為．

【解析】

（1）由題意可知，當(dāng)點(diǎn)位于線段上時(shí)有最小值，根據(jù)AB和PA的長(zhǎng)確定點(diǎn)P是在線段上還是在的延長(zhǎng)線上即可；

（2）①證明全等即可找出與AD相等的線段；

②由（1）的結(jié)論，舉一反三，即可找出AE取最小值的情況，再計(jì)算即可；

（3）根據(jù)前兩問的啟發(fā)，找到取最小值的情況，再推理計(jì)算即可．

（1）由題意可得，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)點(diǎn)位于線段上時(shí)，線段的長(zhǎng)最小，最小值為2；

當(dāng)，時(shí)，當(dāng)點(diǎn)位于線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段的長(zhǎng)最小，最小值為2；

（2）①

理由：和是等腰直角三角形，

，

；

②當(dāng)點(diǎn)C在AB上時(shí)，AE的值最小，

此時(shí)C，D，E三點(diǎn)共線，CE⊥AB，

∴在Rt△ACE中，，

∵AB=3，AC=1，

∴BC=2，

∵，

∴CE=2，

∴，

∴最小值為；

（3）有最小值，

如圖，要使最小，只有點(diǎn)，落在矩形對(duì)角線BD上，

矩形的對(duì)角線，

由對(duì)折可得=BA=4，

∴=BD-=-4，

∵四邊形ABCD是矩形，且點(diǎn)，落在矩形對(duì)角線BD上，

∴根據(jù)翻折的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得，=，∠=∠，∠EDB=∠FBD，

∴△≌△（AAS），

∴=，

∴=BD--=-2（-4）=，

∴長(zhǎng)的最小值為．