Question

如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DC，且AC=DC，BC=BD．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）作CD的平行線AE交⊙O于點(diǎn)E，已知DC=10

3

，求圓心O到AE的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠CAD=∠D=∠BCD，求出∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD，設(shè)∠CAD=x°，則∠D=∠BCD=x°，∠ABC=2x°，求出∠ACB=90°，推出x+2x=90，求出x，求出∠OCD=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）求出OC，得出OA長(zhǎng)，求出∠OAE，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出OF即可．

解答：（1）證明：連接OC，
∵AC=DC，BC=BD，
∴∠CAD=∠D，∠D=∠BCD，
∴∠CAD=∠D=∠BCD，
∴∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD，
設(shè)∠CAD=x°，則∠D=∠BCD=x°，∠ABC=2x°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴x+2x=90，
x=30，
即∠CAD=∠D=30°，∠CBO=60°，
∵OC=OB，
∴△BCO是等邊三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠OCD=180°-30°-60°=90°，
即OC⊥CD，
∵OC為半徑，
∴DC是⊙O的切線；

（2）解：過O作OF⊥AE于F，
∵在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，CD=10

3

，
∴OC=CD×tan30°=10，
OD=2OC=20，
∴OA=OC=10，
∵AE∥CD，
∴∠FAO=∠D=30°，
∴OF=AO×sin30°=10×

1

2

=5，
即圓心O到AE的距離是5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較好．