Question

如圖，拋物線y=x²-4x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸正半軸交于點C．在此拋物線上是否存在一點P，使直線OP與拋物線只有點P這個公共點？若存在請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：可設出直線OP的解析式為y=kx，聯(lián)立直線和拋物線的解析式消去y，根據(jù)直線與拋物線只有一個交點可求得k的值，可求得交點P的坐標．

解答：解：
∵直線OP過原點，
∴可設直線OP的解析式為y=kx，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得

y=x2-4x+3 y=kx

，
消去y整理可得x²-（4+k）x+3=0，
∵直線OP與拋物線只有一個公共點，
∴方程x²-（4+k）x+3=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=0，即（4+k）²-4×3=0，解得k=±2

3

-4，
當k=2

3

-4時，x²-（4+k）x+3=0的根為x₁=x₂=

3

，此時y=kx=（2

3

-4）×

3

=6-4

3

，即P點坐標為（

3

，6-4

3

）；
當k=-2

3

-4時，x²-（4+k）x+3=0的根為x₁=x₂=-

3

，此時y=kx=（2

3

-4）×（-

3

）=4

3

-6，即P點坐標為（

3

，4

3

-6）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為P點坐標為（

3

，6-4

3

）或（

3

，4

3

-6）．

點評：本題主要考查函數(shù)圖象的交點問題，求出直線OP的解析式是解題的關鍵，注意分類討論．