Question

如圖，AB是⊙O的直徑，MN是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，AB=10，連EO并延長交BF于S．
（1）證明：AE=BS；
（2）若MN=8，求BF-AE的值．

Answer 1

考點：垂徑定理,全等三角形的判定與性質(zhì),梯形中位線定理

專題：

分析：（1）由平行可知∠SBO=∠EAO，結(jié)合條件可證明△AOE≌△BOS，可得AE=BS；
（2）連接OM，過O作OH⊥MN于點H，則可知OH為△EFS的中位線，且在Rt△OHM中可求得OH=3，則可得FS=2OH=6，結(jié)合（1）可得BF-AE=BF-BS=FS=6．

解答：（1）證明：∵AE⊥MN，BF⊥MN，
∴AE∥BF，
∴∠OAE=∠OBS，
在△OAE和△OBS中，

∠OAE=∠OBA ∠AOE=∠BOS AO=BO

，
∴△OAE≌△OBS（AAS），
∴AE=BS；
（2）解：如圖，連接OM，過O作OH⊥MN于點H，

則MH=

1

2

MN=4，且AB=10，可得OM=5，
在Rt△OMH中，由勾股定理可得OH=3，
又由（1）可知△OAE≌△OBS，
∴OE=OS，
∴O為ES中點，
∴OH為△EFS的中位線，
∴FS=2OH=6，
∴BF-AE=BF-BS=FS=6．

點評：本題主要考查垂徑定理及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握過圓心垂直弦的直徑平分弦是解題的關(guān)鍵．