Question

如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象與一次函數(shù)y=ax+b的圖象交于點(diǎn)A（1，4）和點(diǎn)B（4，1）兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y=

k

x

的圖象上，求當(dāng)1≤m≤4時(shí)，函數(shù)值n的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，直線PC⊥x軸于點(diǎn)C，交直線AB于點(diǎn)N，分別過點(diǎn)P、N作y軸的垂線，垂足分別為E、F，并設(shè)四邊形PNFE的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)PC⊥x軸于點(diǎn)C，交直線AB于點(diǎn)N，可得N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差，可得PB的長，根據(jù)矩形的面積公式，可得答案．

解答：解：（1）一次函數(shù)y=ax+b的圖象過點(diǎn)A（1，4）和點(diǎn)B（4，1）兩點(diǎn)，得

k+b=4 4k+b=1

，解得

k=-1 b=5

，
一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+5；
（2）反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象過點(diǎn)A（1，4），得
k=1×4=4，
反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

（x＞0），
由k=4＞0，y隨x的增大而減小，得
當(dāng)m=4時(shí)，n_最小=

4

4

=1，
當(dāng)m=1時(shí)，n_最大=

4

1

=4，
答：當(dāng)1≤m≤4時(shí)，函數(shù)值n的取值范圍是1≤n≤4；
（3）如圖：，
P在反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象上（1≤m≤4），得P點(diǎn)坐標(biāo)是（m，

1

m

），
直線PC⊥x軸于點(diǎn)C，交直線AB于點(diǎn)N，得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)是m，
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m+5，即N點(diǎn)的坐標(biāo)是（m，5-m）．
PN=N_y-P_y=5-m-

1

m

．
由矩形的面積公式，得
S=PE•PN=m（5-m-

1

m

）=-m²+5m-1  （1≤m≤4）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，利用了待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)的增減性，矩形的面積公式．