Question

如圖（1），已知：點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，且△ACM和△CBN都是等邊三角形，若連結(jié)AN、BM，通過證明△CAN≌△CMB，可證AN=MB．
（1）若以AB為對稱軸，將△CBN翻折，如圖（2），求證：AN=MB．
（2）若以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ACM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，達(dá)到新的位置，請你畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形并判斷結(jié)論“AN=BM”是否仍能成立，寫出你的結(jié)論并說明理由．
（3）在（2）中得到的圖形內(nèi)，若將NB延長與AM相交于D，則可判斷△ABD是

 

三角形，四邊形CMDN是

 

四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠ACN=∠MCB，再利用“邊角邊”證明△ACN和△MCB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=MB；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，再利用“邊角邊”證明△ACN和△MCB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=MB；
（3）求出∠CAM=∠ABD=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADB=60°，然后根據(jù)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形解答；根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行求出MD∥CN，CM∥ND，然后根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形解答．

解答：（1）證明：∵△ACM和△CBN都是等邊三角形，
∴AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACN=∠MCB BC=CN

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB；

（2）解：AN=MB成立．
證明如下：∵△ACM和△CBN都是等邊三角形，
∴AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACM=∠BCN BC=CN

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB；

（3）∵△ACM和△CBN都是等邊三角形，
∴∠CBN=∠CAM=60°，
∴∠ABD=∠CBN=60°（對頂角相等），
∴∠ADB=180°-60°×2=60°，
∴∠ABD=∠CAM=∠ADB，
∴△ABD是等邊三角形；
∵∠ADB=∠BNC=60°，
∴MD∥CN，
∵∠ADB=∠AMC=60°，
∴CM∥ND，
∴四邊形CMDN是平行四邊形．
故答案為：等邊，平行．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)確定出三角形全等的條件是解本題的關(guān)鍵．