Question

【題目】如圖所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC的邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為ts．

（1）則BC＝　 　cm；

（2）當t為何值時，點P在邊AC的垂直平分線上？此時CQ＝　 　；

（3）當點Q在邊CA上運動時，直接寫出使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．

Answer 1

【答案】（1）BC＝12cm；（2）t＝，CQ＝13cm；（3）當t為11秒或12秒或13.2秒時，△BCQ為等腰三角形．

【解析】

（1）由勾股定理即可得出結論；

（2）可得PC＝PA＝t，PB＝16﹣t，則122+（16﹣t）2＝t2，解出t＝．可求出CQ；

（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關于t的方程，可求得t的值．

解：（1）∵∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，

∴BC＝＝＝12（cm）．

故答案為：12；

（2）如圖，

∵點P在邊AC的垂直平分線上，

∴PC＝PA＝t，PB＝16﹣t，

在Rt△BPC中，BC2+BP2＝CP2，即122+（16﹣t）2＝t2，

解得：t＝．

此時，點Q在邊AC上，CQ＝（cm）；

故答案為：13cm．

（3）①當CQ＝BQ時，如圖1所示，

則∠C＝∠CBQ，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．

∠A+∠C＝90°，

∴∠A＝∠ABQ，

∴BQ＝AQ，

∴CQ＝AQ＝10，

∴BC+CQ＝22，

∴2t=22，

∴t＝22÷2＝11秒．

②當CQ＝BC時，如圖2所示，

則BC+CQ＝24，

∴2t=24，

∴t＝24÷2＝12秒．

③當BC＝BQ時，如圖3所示，

過B點作BE⊥AC于點E，

∴，

∴＝．

∴CQ＝2CE＝14.4，

∴BC+CQ＝26.4，

∴2t=26.4，

∴t＝26.4÷2＝13.2秒．

綜上所述：當t為11秒或12秒或13.2秒時，△BCQ為等腰三角形．