【題目】如圖①,在平面直角坐標系中,圓心為P(x,y)的動圓經(jīng)過點A(1,2)且與x軸相切于點B.
(1)當x=2時,求⊙P的半徑;
(2)求y關于x的函數(shù)解析式,請判斷此函數(shù)圖象的形狀,并在圖②中畫出此函數(shù)的圖象;
(3)請類比圓的定義(圖可以看成是到定點的距離等于定長的所有點的集合),給(2)中所得函數(shù)圖象進行定義:此函數(shù)圖象可以看成是到 的距離等于到 的距離的所有點的集合.
(4)當⊙P的半徑為1時,若⊙P與以上(2)中所得函數(shù)圖象相交于點C、D,其中交點D(m,n)在點C的右側(cè),請利用圖②,求cos∠APD的大小.
【答案】(1);(2)圖象為開口向上的拋物線,見解析;(3)點A;x軸;(4)
【解析】(1)由題意得到AP=PB,求出y的值,即為圓P的半徑;
(2)利用兩點間的距離公式,根據(jù)AP=PB,確定出y關于x的函數(shù)解析式,畫出函數(shù)圖象即可;
(3)類比圓的定義描述此函數(shù)定義即可;
(4)畫出相應圖形,求出m的值,進而確定出所求角的余弦值即可.
(1)由x=2,得到P(2,y),
連接AP,PB,
∵圓P與x軸相切,
∴PB⊥x軸,即PB=y,
由AP=PB,得到=y,
解得:y=,
則圓P的半徑為;
(2)同(1),由AP=PB,得到(x﹣1)2+(y﹣2)2=y2,
整理得:y=(x﹣1)2+1,即圖象為開口向上的拋物線,
畫出函數(shù)圖象,如圖②所示;
(3)給(2)中所得函數(shù)圖象進行定義:此函數(shù)圖象可以看成是到點A的距離等于到x軸的距離的所有點的集合;
故答案為:點A;x軸;
(4)連接CD,連接AP并延長,交x軸于點F,交CD于E,
設PE=a,則有EF=a+1,ED=,
∴D坐標為(1+,a+1),
代入拋物線解析式得:a+1=(1﹣a2)+1,
解得:a=﹣2+或a=﹣2﹣(舍去),即PE=﹣2+,
在Rt△PED中,PE=﹣2,PD=1,
則cos∠APD==﹣2.
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【題目】如圖1,直線MN與直線AB、CD分別交于點E、F,∠1與∠2互補.
(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關系,并說明理由;
(2)如圖2,∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P,EP與CD交于點G,點H是MN上一點,且GH⊥EG,求證:PF∥GH;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接PH,K是GH上一點使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,問∠HPQ的大小是否發(fā)生變化?若不變,請求出其值;若變化,說明理由.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D在邊 AC上,AE⊥BD于 E
(1)如圖1,作 CF⊥BD于F,求證:CF-AE=EF
(2)如圖2,若 BC=CD,求的值
(3)如圖3,作 BM⊥BE,且 BM=BE,AE=2,EN=4,連 CM交 BE于 N,請直接寫出△BCM的面積為___
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【題目】樂樂對幾何中角平分線的興趣濃厚,請你和樂樂一起探究下面問題吧.已知°,射線分別是和的平分線;
(1)如圖1,若射線在的內(nèi)部,且,求的度數(shù);
(2)如圖2,若射線在的內(nèi)部繞點旋轉(zhuǎn),則的度數(shù)為;
(3)若射線在的外部繞點旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)中,均指小于的角),其余條件不變,請借助圖3探究的大小,請直接寫出的度數(shù)(不寫探究過程)
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【題目】觀察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,76=117 649,…,那么:71+72+73+…+72 016的末位數(shù)字是( )
A. 9B. 7C. 6D. 0
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【題目】(問題情境)
如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點,E是CD邊的中點,AE平分∠DAM.求證:AM=AD+MC.
(探究展示)
(2)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,試判斷AM=AD+MC是否成立?若成立,請給出證明,若不成立,請說明理由;
(拓展延伸)
(3)若(2)中矩形ABCD兩邊AB=6,BC=9,求AM的長.
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【題目】(本題滿分10分)雖然近幾年無錫市政府加大了太湖水治污力度,但由于大規(guī)模、高強度的經(jīng)濟活動和日益增加的污染負荷,使部分太湖水域水質(zhì)惡化,富營養(yǎng)化不斷加劇。為了保護水資源,我市制定一套節(jié)水的管理措施,其中對居民生活用水收費作如下規(guī)定:
月用水量(噸) | 單價(元/噸) |
不大于10噸部分 | 1.5 |
大于10噸不大于m噸部分(20≤m≤50) | 2 |
大于m噸部分 | 3 |
(1)若某用戶六月份用水量為18噸,求其應繳納的水費;
(2)記該用戶六月份用水量為x噸,繳納水費為y元,試列出y關于x的函數(shù)關系式;
(3)若該用戶六月份用水量為40噸,繳納水費y元的取值范圍為70≤y≤90,試求m的取值范圍.
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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點,點的橫坐標為,點的橫坐標為,.
(1)點的縱坐標為___________;
(2)作軸,軸,垂足分別為、,與相交于點,連結(jié).
①求證:;
②若四邊形是正方形且面積為,把直線向右平移個單位,平移后的直線與反比例函數(shù)的圖象交于點,與軸交于點,求的值.
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【題目】一項工程,甲公司單獨做需要20天完成,乙公司單獨做所用時間是甲公司的1.5倍.
(1)若甲、乙兩公司合作完成這項工程需要多少天?
(2)若甲、乙兩公司合作完成這項工程,在第10天結(jié)束時,甲公司有別的任務,不能繼續(xù)合作,剩余部分由乙公司單獨完成,則乙公司還需要做幾天?
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