Question

如圖，DB為半圓的直徑，A為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC切半圓于點(diǎn)E，BC⊥AC于點(diǎn)C，交半圓于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若AC=4，BC=3，求⊙O的半徑；
（2）如圖2，連結(jié)OE、OF、EF．若EF∥AB，試判斷△EOF的形狀，并請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)AD=x，CF=y，若BD=2，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接OE，設(shè)圓的半徑為x，首先利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，再證明△AOE∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)即可求出圓的半徑；
（2）△EOF的形狀是等邊三角形，利用已知條件和（1）中的OE∥BC，易證四邊形OEFB是平行四邊形，因?yàn)镺E=OB，所以四邊形OEFB是菱形，再由圓的半徑處處相等即可證明問題的結(jié)論；
（3）連接DF、OE，過點(diǎn)D作DG⊥AC與點(diǎn)G，先證明四邊形CGDF是矩形，得出DG=CF=y；再證明△AOE∽△ADG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．

解答：解：（1）連接OE，設(shè)圓的半徑為x，
∵BC⊥AC于點(diǎn)C，AC=4，BC=3，
∴AB=

32+42

=5，
∴AO=AB-OB=5-x，
∵AC切半圓于點(diǎn)E，
∴OE⊥AC，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴

OE

BC

=

AO

AB

，
∴

x

3

=

5-x

5

，
解得：x=

15

8

，
∴⊙O的半徑為

15

8

；
（2）△EOF的形狀是等邊三角形，
理由如下：
∵OE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形OEFB是平行四邊形，
∵OE=OB，
∴四邊形OEFB是菱形，
∴EF=OE，
∵OE=OF，
∴OE=EF=OF，
∴△EOF的形狀是等邊三角形；
（3）連接DF、OE，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G．
∵∠C=∠CGD=∠CFD=90°，
∴四邊形CGDF是矩形，
∴DG=CF=y；
∵OE∥DG，
∴△AOE∽△ADG，
∴

OE

AO

=

DG

AD

，
即

1

x+1

=

y

x

，
化簡(jiǎn)可得y=

x

x+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，其中還滲透了函數(shù)的定義：在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x，y，對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)，x叫自變量．