Question

如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，在AB，AC邊上各取一點(diǎn)D，E，使AD=AE，且DE連線恰好通過(guò)圓心O．求證：DO²=BD•CE．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：如圖，作輔助線，首先證明∠BDO=∠CEO，進(jìn)而證明∠DBO=∠EOC、△BDO∽△OEC，寫出比例式，化為等積式即可解決問(wèn)題．

解答：證明：如圖，連接OA、OB、OC；
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴∠DBO=∠CBO=α，∠ECO=∠BCO=β，∠DAO=∠EAO=γ；
則2（α+β+γ）=180°，α+β+γ=90°，α+β=90°-γ；
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=

180°-2γ

2

=90°-γ，
∴∠BDO=∠CEO=180°-90°+γ=90°+γ；
∵∠BOC=180°-（α+β）=90°+γ，
∴∠BDO=∠BOC=∠OEC；
∴∠DBO+∠DOB=∠DOB+∠EOC，
∴∠DBO=∠EOC，
∴△BDO∽△OEC，
∴

DO

EC

=

BD

OE

，
∴DO•OE=BD•CE；
在△AOD與△AOE中，

AD=AE ∠DAO=∠EAO AO=AO

，
∴△AOD≌△AOE（SAS），
∴DO=OE，
∴DO²=BD•CE．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．