Question

在△ABC中，AD是BC邊上的高，BC=12，AD=8．矩形EFGH的頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，H、G在BC上．
（1）當(dāng)EF=

 

時(shí)，矩形EFGH是正方形．
（2）求矩形EFGH的最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）設(shè)HG=x，KD=y，根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得HG∥EF，然后得到△AEF與△ABC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，用x表示出y，當(dāng)x=y時(shí)，矩形EFGH是正方形，求出x的值；
（2）根據(jù)矩形的面積公式求解并整理，再利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）設(shè)EF=x，KD=y，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是BC邊上的高，
∴AK⊥HG，∠ADG=∠HGF=∠GFK=90°，
∴四邊形DGFK是矩形，
∴KD=GF=y，
∴AK：AD=EF：BC，
∵BC=12，AD=8，
∴

8-y

8

=

x

12

，
∴y=-

2

3

x+8，
當(dāng)x=y時(shí)，矩形EFGH是正方形，
∴x=-

2

3

x+8，解得x=

24

5

，
即EF=

24

5

時(shí)，矩形EFGH是正方形；
（2）∵矩形EFGH的面積為：xy=x（-

2

3

x+8）=-

2

3

（x-6）²+24，∵-

2

3

＜0，
∴當(dāng)x=6，即EF=6時(shí)，內(nèi)接矩形EFGH有最大面積，最大面積是24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題；根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式求出矩形長(zhǎng)與寬的關(guān)系是解題關(guān)鍵．