Question

在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D在邊AB上，DE⊥AB，點E在邊BC，點F在邊AC上，且∠DEF=∠B．

（1）求證：△FCE∽△EBD；

（2）當點D在線段AB上運動時，是否有可能使S_△FCE=4S_△EBD？如果有可能，那么求出BD的長；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）由AB=AC，DE⊥AB，得到∠B=∠C，∠BDE=90°，由∠B=∠DEF，證得∠BDE=∠FEC=90°，于是可證得結(jié)論．

（2）作AG⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BG=3，根據(jù)△FCE∽△EBD，得到，由△BDE∽△BGA，得到，設BD=x，CE=2x，求得BD=，，根據(jù)△ECF∽△GCA，由相似三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．

【解答】證明：（1）∵AB=AC=5，DE⊥AB，

∴∠B=∠C，∠BDE=90°，

∵∠B=∠DEF，

∴∠B+∠BDE=∠DEF+∠FEC，

∴∠BDE=∠FEC=90°，

∵在△FCE和△EBD中，

∠B=∠C，∠BDE=∠FEC，

∴△FCE∽△EBD；

（2）作AG⊥BC，

∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC，

∴BG=3，

∵S_△FCE=4S_△EBD，

∴，

∵△FCE∽△EBD，

∴，

∵在△BDE和△BGA中，

∠B=∠B，∠BDE=∠BGA，

∴△BDE∽△BGA，

∴，

設BD=x，CE=2x，

∴，

解得：x=，

∴BD=，，

∵△ECF∽△GCA，

∴，

∴不可能在線段AB上存在D點，使S_△FCE=4S_△EBD．

【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的計算，根據(jù)題意畫出圖形利用數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．