Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，點D是AM上一點，聯(lián)結(jié)OD，作BE∥OD交⊙O于點E，聯(lián)結(jié)DE并延長交BN于點C．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AD=l，BC=4，求直徑AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）連接OE，先證出△AOD≌△EOD，再結(jié)合AM是⊙O的切線，切點為A得到∠OAD=∠OED=90°，即可得DC是⊙O的切線；
（2）過點D作BC的垂線，垂足為H．得到四邊形ABHD是矩形，AD=BH=1，AB=DH，CH=BC-BH=4-1=3，DC=DE+CE=1+4=5，再由勾股定理可得AB=4．

解答：解：（1）證明：連接OE，

在⊙O中，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∵OD∥BE，∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD
∵在△AOD和△EOD中，

OA=OE ∠AOD=∠EOD OD=OD

∴△AOD≌△EOD．
∴∠OAD=∠OED．
∵AM是⊙O的切線，切點為A，
∴BA⊥AM，
∴∠OAD=∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∵OE是⊙O的半徑，
∴DC是⊙O的切線；

（2）過點D作BC的垂線，垂足為H．
∵BN切⊙O于點B，
∴∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD．
∴四邊形ABHD是矩形，
∴AD=BH=1，
AB=DH 
∴CH=BC-BH=4-1=3
∵AD、CB、CD分別切⊙O于點A、B、E，
∴AD=ED=1．
BC=CE=4，
∴DC=DE+CE=1+4=5
在Rt△DHC中，DC²=DH²+CH²，
∴AB=DH=

52-33

=4．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定以及矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，本題關鍵是作出輔助線．