Question

如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D在反比例函數(shù)y=

6

x

(x＞0)的圖象上，頂點(diǎn)C、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且

AB

BC

=2．再在其右側(cè)作正方形DEFG、FPQR（如圖），頂點(diǎn)F、R在反比例函數(shù)y=

6

x

(x＞0)的圖象上，頂點(diǎn)E、Q在x軸的正半軸上，則點(diǎn)R的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：過(guò)D作DM⊥x軸，F(xiàn)N⊥x軸，RI⊥FN，RH⊥x軸，由ABCD為矩形，利用對(duì)稱性得三角形OBC為等腰直角三角形，繼而得到三角形CDM為等腰直角三角形，即兩三角形相似，且相似比為1：2，設(shè)OB=OC=a，則有CM=DM=2a，表示出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出a的值，確定出D坐標(biāo)，得出DM與OM長(zhǎng)，利用AAS得到三角形DME與三角形EFN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到ME=FN，DM=EN，設(shè)F縱坐標(biāo)為b，代入反比例解析式得到橫坐標(biāo)為

6

b

，由OM+ME+EN表示出ON，即為橫坐標(biāo)，列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，確定出F坐標(biāo)，得到ON，F(xiàn)N的長(zhǎng)，同理得到三角形RFI與三角形RQH全等，設(shè)R縱坐標(biāo)為c，由ON+NH表示出橫坐標(biāo)，將R坐標(biāo)代入反比例解析式求出c的值，即可確定出R坐標(biāo)．

解答：解：過(guò)D作DM⊥x軸，F(xiàn)N⊥x軸，RI⊥FN，RH⊥x軸，
∵ABCD為矩形，A與D在反比例圖象上，且AB=2BC，
∴∠BCD=90°，∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠MCD=∠MDC=45°，
∴△BOC∽△CMD，且相似比為1：2，
設(shè)OC=OB=a，則CM=DM=2a，OM=OC+CM=a+2a=3a，
∴D（3a，2a），
將D坐標(biāo)代入反比例y=

6

x

中得：6a²=6，即a²=1，
解得：a=1（負(fù)值舍去），
∴DM=2，OM=3，
∵DEFG為正方形，
∴DE=EF，∠DEF=90°，
∴∠MDE+∠MED=90°，∠MED+∠NEF=90°，
∴∠MDE=∠NEF，
在△DME和△ENF中，

∠MDE=∠NEF ∠DME=∠ENF=90° DE=EF

，
∴△DME≌△ENF（AAS），
∴DM=EN=2，F(xiàn)N=ME，
設(shè)F（

6

b

，b），則FN=ME=b，ON=OM+ME+EN=3+b+2，
可得5+b=

6

b

，即b²+5b-6=0，即（b+6）（b-1）=0，
解得：b=1或b=-6（舍去），
∴F（6，1），即ON=6，F(xiàn)N=1，
同理△RFI≌△RQH，
設(shè)RH=RI=NH=c，即R（6+c，c），
將R坐標(biāo)代入y=

6

x

中得：c（6+c）=6，
即c²+6c+9=（c+3）²=15，
解得：c=-3+

15

或c=-3-

15

（舍去），
則R（3+

15

，-3+

15

）．
故答案為：（3+

15

，-3+

15

）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了方程的思想，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．