【題目】如圖,已知A、B⊙O上兩點(diǎn),△OAB外角的平分線交⊙O于另一點(diǎn)C,CD⊥ABAB的延長線于D.

(1)求證:CD⊙O的切線;

(2)E的中點(diǎn),F⊙O上一點(diǎn),EFABG,若tan∠AFE=,BE=BG,EG=3,求⊙O的半徑.

【答案】(1)詳見解析;(2).

【解析】

(1)連接OC,先證明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD,再利用CD⊥AB得到OC⊥CD,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;

(2)解:連接OEABH,如圖,利用垂徑定理得到OE⊥AB,再利用圓周角定理得到∠ABE=∠AFE,在Rt△BEH中利用正切可設(shè)EH=3x,BH=4x,則BE=5x,所以BG=BE=5x,GH=x,接著在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+(3x)2=(32,解方程得x=3,接下來設(shè)⊙O的半徑為r,然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程(r-9)2+122=r2,最后解關(guān)于r的方程即可.

(1)證明:連接OC,如圖,

BC平分∠OBD,

∴∠OBD=CBD,

OB=OC,

∴∠OBC=OCB,

∴∠OCB=CBD,

OCAD,

CDAB,

OCCD,

CD是⊙O的切線;

(2)解:連接OEABH,如圖,

E的中點(diǎn),

OEAB,

∵∠ABE=AFE,

tanABE=tanAFE=,

∴在RtBEH中,tanHBE=

設(shè)EH=3x,BH=4x,

BE=5x,

BG=BE=5x,

GH=x,

RtEHG中,x2+(3x)2=(32,解得x=3,

EH=9,BH=12,

設(shè)⊙O的半徑為r,則OH=r-9,

RtOHB中,(r-9)2+122=r2,解得r=

即⊙O的半徑為

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