Question

如圖，正△ABC的邊長為1cm，將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°至AP₁，形成扇形D₁；將線段BP₁繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°至BP₂，形成扇形D₂；將線段CP₂繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°至CP₃，形成扇形D₃；將線段AP₃繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°至AP₄，形成扇形D₄，…．設(shè)l_n為扇形D_n的弧長（n=1，2，3，…），S_n為扇形D_n的面積．
（1）按照要求填表：

n	1	2	3	4	5	…
ln

（2）求l_n；
（3）求S_n．

Answer 1

考點：扇形面積的計算,弧長的計算

專題：規(guī)律型

分析：從上圖中可以找出規(guī)律，弧長的圓心角不變都是120°，變化的是半徑，而且第一次是1，第二次是2，第三次是3，依此下去，然后按照弧長公式、扇形面積公式計算．

解答：解：（1）根據(jù)弧長公式得l₁=

120π×1

180

=

2π

3

；
l₂=

120π×2

180

=

4π

3

；
l₃=

120π×3

180

=2π；
l₄=

120π×4

180

=

8π

3

；
l₅=

120π×5

180

=

10π

3

；
…
l_n=

120nπ

180

=

2nπ

3

；
故答案是：

2π

3

；

4π

3

；2π；

8π

3

；

10π

3

；

2nπ

3

；

（2）由（1）知，l_n=

2nπ

3

；

（3）S₁=

120π×12

360

=

π

3

，
S₂=

120π×22

360

=

22π

3

，
S₃=

120π×32

360

=

32π

3

，
…
S_n=

n2π

3

．

點評：本題考查了扇形面積的計算和弧長的計算．熟記公式是解題的關(guān)鍵．