Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，過點B作以點A為圓心，AC為半徑的⊙A的切線，切點為D，延長CA交圓于點E，交切線BD的延長線于點F，連接DE．
（1）求證：ED∥AB；
（2）求線段EF的長及sin∠EDF．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接AB、AD，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ADB=90°，再利用“HL”證明Rt△ABD≌Rt△ACB，得到∠1=∠2，BD=BC=6，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1+∠2=∠3+∠4，加上∠3=∠4，易得∠1=∠3，于是根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DE∥AB；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，由DE∥AB得到

FD

BD

=

FE

EA

，則FD=2EF，在Rt△ADF中利用勾股定理可計算出EF=2；再由DE∥AB得到∠EDF=∠ABD，
然后在Rt△ADB中，利用正弦的定義計算出sin∠ABD=

AD

AB

=

5

5

，所以sin∠EDF=

5

5

．

解答：（1）證明：連接AB、AD，如圖，
∵BD為⊙A的切線，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACB中，

AD=AC AB=AB

，
∴Rt△ABD≌Rt△ACB，
∴∠1=∠2，BD=BC=6，
∵∠1+∠2=∠3+∠4，
而由AD=AE得∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴DE∥AB；
（2）解：∵DE∥AB，
∴

FD

BD

=

FE

EA

，即

FD

6

=

EF

3

，
∴FD=2EF，
在Rt△ADF中，∵DF²+AD²=AF²，
∴4EF²+3²=（EF+3）²，
∴EF=2；
∵DE∥AB，
∴∠EDF=∠ABD，
在Rt△ADB中，∵AD=3，BD=6，
∴AB=

AD2+BD2

=3

5

，
∴sin∠ABD=

AD

AB

=

3

3 5

=

5

5

，
∴sin∠EDF=

5

5

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理．