Question

類比、轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法和數(shù)學(xué)基本圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補(bǔ)充完整．
原題：如圖1，在⊙O中，MN是直徑，AB⊥MN于點B，CD⊥MN于點D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，則BD=

 

．
（1）嘗試探究：如圖2，在⊙O中，MN是直徑，AB⊥MN于點B，CD⊥MN于點D，點E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：DE=1：3，則CD=

 

（試寫出解答過程）．
（2）類比延伸：利用圖3，再探究，當(dāng)A、C兩點分別在直徑MN兩側(cè)，且AB≠CD，AB⊥MN于點B，CD⊥MN于點D，∠AOC=90°時，則線段AB、CD、BD滿足的數(shù)量關(guān)系為

 

．
（3）拓展遷移：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（m，6），B（n，1）兩點（其中0＜m＜3），且以y軸為對稱軸，且∠AOB=90°，①求mn的值；②當(dāng)S_△AOB=10時，求拋物線的解析式．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）利用AAS證明△AOB≌△OCD，即可得出答案；
（2）證明△ABE∽△EDC，利用對應(yīng)邊成比例，可解得CD的長度；
（3）先畫出圖形，然后按照（1）的思路，可得出結(jié)論；
（4）①作BC⊥x軸于C點，AD⊥x軸于D點，證明△CBO∽△DOA，可得mn的值；②由①得，OA=mBO，結(jié)合△AOB的面積可表示出mBO²=20，再由OB²=BC²+OC²=n²+1，代入mn的值，可得m、n的值．

解答：解：（1）∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴∠ABO=∠ODC=90°，∠BAO+∠AOB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠DOC+∠AOB=90°
∴∠BAO=∠DOC，
在△AOB和△OCD中，
∵

∠BAO=∠DOC ∠ABO=∠ODC OA=OC

，
∴△AOB≌△OCD（AAS），
∴OD=AB=3，OB=CD=4，
∴BD=OB+OD=7．

（2）嘗試探究：∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴∠ABE=∠CDE=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEC=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠DEC，
∴△ABE∽△EDC，
∴

CD

BE

=

DE

AB

，
∵AB=3，BD=8，BE：DE=1：3，
∴BE=2，DE=6，
∴

CD

2

=

6

3

，
∴CD=4．
（3）類比延伸：
如圖3（a）可證△ABO≌△ODC，從而可得：CD=AB+BD；
如圖3（b）可證△ABO≌△ODC，AB=CD+BD．



（4）拓展遷移：①作BC⊥x軸于C點，AD⊥x軸于D點，
∵A，B點坐標(biāo)分別為（m，6），（n，1），
∴BC=1，OC=-n，OD=m，AD=6，
又∵∠AOB=90°，
∴∠BCO=∠ODA=90°，∠OBC=∠AOD，
∴△CBO∽△DOA，
∴

CB

DO

=

CO

DA

=

BO

OA

，
∴

1

m

=

-n

6

，
∴mn=-6，
②由①得，OA=mBO，
又∵S_△AOB=10，
∴

1

2

OB•OA=10，
即OB•OA=20，
∴mBO²=20，
又∵OB²=BC²+OC²=n²+1，
∴m（n²+1）=20，
∵mn=-6，
∴m=2，n=-3，
∴A坐標(biāo)為（2，6），B坐標(biāo)為（-3，1），代入得拋物線解析式為y=-x²+10．

點評：本題考查了圓的綜合，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題多次用到等角的余角相等這一知識點，同學(xué)們注意將所學(xué)知識融會貫通．