Question

定義：如圖1，射線OP與原點為圓心，半徑為1的圓交于點P，記∠xOP=α，則點P的橫坐標叫做角α的余弦值，記作cosα；點P的縱坐標叫做角α的正弦值，記作sinα；縱坐標與橫坐標的比值叫做角α的正切值，記作tanα．
如：當α=45°時，點P的橫坐標為cos45°=

2

2

，縱坐標為sin45°=

2

2

，即P（

2

2

，

2

2

）．又如：在圖2中，∠xOQ=90°-α（α為銳角），PN⊥y軸，QM⊥x軸，易證△OQM≌△OPN，則Q點的縱坐標sin（90°-α）等于點P的橫坐標cosα，得sin（90°-α）=cosα．

解決以下四個問題：
（1）當α=60°時，求點P的坐標；
（2）當α是銳角時，則cosα+sinα

 

1（用＞或＜填空），（sinα）²+（cosα）²=

 

；
（3）求證：sin（90°+α）=cosα（α為銳角）；
（4）求證：tan

α

2

=

1-cosα

sinα

（α為銳角）．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）點P的橫坐標為cos60°，縱坐標為sin60°，從而可得點P的坐標；
（2）結(jié)合圖形可在△POM中，表示出cosα+sinα，繼而與半徑長1，比較即可；根據(jù)勾股定理可得（sinα）²+（cosα）²=1；
（3）畫出圖形，根據(jù)cosα及sin（90°+α）表示的實際意義，可得出結(jié)論；
（4）構(gòu)造圖形，如圖，分別表示出tan

α

2

，及

1-cosα

sinα

表示的線段比，繼而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）點P的坐標為（cos60°，sin60°）=（

1

2

，

3

2

）．

（2）如圖1所示：∠MOP=α，

∵半徑為1，
∴cosα=

OM

OP

=OM，sinα=

PM

OP

=PM，
∴cosα+sinα=OM+PM＞OP=1；
∴（sinα）²+（cosα）²=PM²+OM²=OP²=1．

（3）如圖2所示：∠MOP=α，

點P的縱坐標為sin（90°+α），值為OM的長度，cosα=

OM

OP

=OM，
∴sin（90°+α）=cosα．
（4）如圖3所示：∠AOQ=∠POQ=

α

2

，∠AOP=α，
則cosα=

OM

OP

=OM，sinα=

PM

OP

=PM，
∴

1-cosα

sinα

=

AM

PM

=tan∠APM，
∵OQ是∠AOP的角平分線，
∴OQ⊥AP，
∴∠AOQ+∠OAP=90°，
∵∠APM+∠OAP=90°，
∴∠AOP=∠APM，
即

α

2

=∠APM，
∴tan

α

2

=tan∠APM=

1-cosα

sinα

．

點評：本題考查了圓的綜合及銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是仔細審題，理解題意，將所求解問題轉(zhuǎn)化為我們學過的知識求解．