Question

觀察下列等式：
第1個(gè)等式：a₁=1+

1

12

+

1

22

=

3

1×2

=1+

1

1×2

第2個(gè)等式：a₂=1+

1

22

+

1

32

=

7

2×3

=1+

1

2×3

第3個(gè)等式：a₃=1+

1

32

+

1

42

=

13

3×4

=1+

1

3×4

…
請解答下列問題：
（1）按以上的規(guī)律列出第4個(gè)等式：a₄=

 

=

 

=

 

；
（2）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：a_n=

 

=

 

=

 

（n為正整數(shù)）；
（3）求

a1

+

a2

+

a3

+…+

a100

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類,算術(shù)平方根

專題：

分析：（1）（2）類比已知等式得出答案即可；
（3）利用得到的規(guī)律開方后拆分計(jì)算即可．

解答：解：（1）第4個(gè)等式：a₄=1+

1

42

+

1

52

=（

21

4×5

）²=（1+

1

4×5

）²
（2）第n個(gè)等式：a_n=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

=[

n(n+1)+1

n•(n+1)

]²=[1+

1

n•(n+1)

]²；
（3）原式=1+

1

1×2

+1+

1

2×3

+1+

1

3×4

+…+1+

1

100×101

=100+（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

100×101

）
=100+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

100

-

1

101

）
=100+（1-

1

101

）
=100

100

101

．

點(diǎn)評：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，從簡單的情形考慮，找出一般規(guī)律，利用規(guī)律，解決問題．