Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣1），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，8）

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)該拋物線與y軸相交于點(diǎn)B，與x軸相交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），試求點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P是x軸任一點(diǎn)，連接AP、BP．試求當(dāng)AP+BP取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣2）2﹣1（或y=x2﹣4x+3）；（2）B （0，3 ），C（1，0 ），D （3，0 ）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．

【解析】

試題

（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）可設(shè)其解析式為，代入點(diǎn)A（5，8）求出的值即可得到拋物線的解析式；

（2）在（1）中所求解析式中，由求得對(duì)應(yīng)的的值；由解得對(duì)應(yīng)的的值；即可得到點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)；

（3）由題意：取點(diǎn)B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（0，﹣3），連接AB′交軸于點(diǎn)P，此時(shí)AP+BP的值最小，根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)求得直線AB′的解析式，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：

（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，

∵拋物線經(jīng)過(guò)A（5，8），

∴8=a（5﹣2）2﹣1，解得：a=1

∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（2）在y=x2﹣4x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為： （0，3 ）

當(dāng)y=0時(shí)，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（1，0 ），點(diǎn)D的坐標(biāo)為： （3，0 ）；

（3）取點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（0，﹣3），連接AB′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)AP+BP最小.

設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b過(guò)點(diǎn)A（5，8）和B′（0，﹣3），

∴ ，解得： ，

∴AB′的解析式為：，

∵在中，當(dāng)時(shí)，解得：，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

點(diǎn)睛；（1）在已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求其解析式時(shí)，一般設(shè)其解析式為“頂點(diǎn)式：”；（2）在已知直線上找一點(diǎn)，使其到已知直線同側(cè)兩點(diǎn)的距離之和最小的方法是：作出已知兩點(diǎn)中其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)，并把這個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)已知點(diǎn)中的另一個(gè)連接，所得線段與已知直線的交點(diǎn)即為所找的點(diǎn).