Question

如圖△ABC中，CA=CB，∠ABC=90°，D為△ABC外一點(diǎn)，且AD⊥BD，BD交AC于E，G為BC上一點(diǎn)，且∠BCG=∠DCA，過(guò)G點(diǎn)作GH⊥CG交CB于H．
（1）求證：CD=CG；
（2）若AD=CG，求證：AB=AC+BH．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABC=45°，然后求出∠DAC=∠GBC，再利用“角邊角”證明△ACD和△BCG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）延長(zhǎng)CG交AB于F，求出△CDG是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CGD=45°，然后求出∠BGH=∠BGF，再求出BG=CG，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BCG=∠CBG，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CBG=22.5°，再求出∠GBF=22.5°，從而得到∠CBG=∠GBF，利用“角邊角”證明△BGF和△BGH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=BF，再求出∠ACF=∠AFC=67.5°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AC=AF，然后根據(jù)AB=AF+BF等量代換即可得證．

解答：證明：（1）∵CA=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵AD⊥BD，
∴∠DAC+45°+∠ABD=90°，
∴∠DAC+∠ABD=45°，
∵∠GBC+∠ABD=∠ABC=45°，
∴∠DAC=∠GBC，
在△ACD和△BCG中，

∠DAC=∠GBC CA=CB ∠BCG=∠DCA

，
∴△ACD≌△BCG（ASA），
∴CD=CG；

（2）如圖，延長(zhǎng)CG交AB于F，
∵∠BCG=∠DCA，
∴∠DCG=∠DCA+∠ACG=∠BCG+∠ACG=∠ACB=90°，
又∵CD=CG，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴∠CGD=45°，
∵GH⊥CG，∠BGF=∠CGD（對(duì)頂角相等），
∴∠BGH=∠BGF，
∵△ACD≌△BCG，
∴AD=BG，
∵AD=CG，
∴BG=CG，
∴∠BCG=∠CBG，
由三角形的外角性質(zhì)，∠BGF=∠BCG+∠CBG=45°，
∴∠CBG=22.5°，
∴∠GBF=∠ABC-∠CBG=45°-22.5°=22.5°，
∴∠CBG=∠GBF，
在△BGF和△BGH中，

∠BGH=∠BGF BG=BG ∠CBG=∠GBF

，
∴△BGF≌△BGH（ASA），
∴BH=BF，
又∵∠AFC=∠ABD+∠BGF=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ACF=180°-∠BAC-∠AFC=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠ACF=∠AFC=67.5°，
∴AC=AF，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AC+BH．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，（1）難點(diǎn)在于求出∠DAC=∠GBC，（2）作輔助線并根據(jù)角的度數(shù)相等得到相等是角是解題的關(guān)鍵．