Question

【題目】如圖，在矩形中， ， ，為的中點(diǎn)，若為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若想使得四邊形的周長(zhǎng)最小，則的長(zhǎng)度應(yīng)為__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點(diǎn)P、Q的位置，可在AD上截取線(xiàn)段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線(xiàn)交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，則此時(shí)AP+EQ=EG最小，然后過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線(xiàn)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H點(diǎn)，證即可．

解：如圖，在AD上截取線(xiàn)段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線(xiàn)交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線(xiàn)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H點(diǎn)．
∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=2

∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，
∵BC//GH

∴,
∴,

∴，
∴CQ=，

∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．
故答案為：．