【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AD的中點,點A關(guān)于BE的對稱點為G(G在矩形ABCD內(nèi)部),連接BG并延長交CD于F.
(1)如圖1,當AB=AD時,
①根據(jù)題意將圖1補全;
②直接寫出DF和GF之間的數(shù)量關(guān)系.
(2)如圖2,當AB≠AD時,如果點F恰好為DC的中點,求的值.
(3)如圖3,當AB≠AD時,如果DC=nDF,寫出求的值的思路(不必寫出計算結(jié)果).
【答案】(1)①見解析;②DF=GF;(2);(3)見解析.
【解析】
解:(1)①根據(jù)題意作出圖形即可;
②連接EG,EF,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠BAD=∠D=90°,由點A關(guān)于BE的對稱點為G,得到AE=EG,由E是AD的中點,等量代換得到DE=EG,推出Rt△DEF≌Rt△GEF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)如圖2,連接EF,EG,由四邊形ABCD是矩形,得到∠A=∠D=∠C=90°,由點A關(guān)于BE的對稱點為G,得到EG=AE,∠EGB=∠EGF=∠A=∠D=90°,推出Rt△EGF≌Rt△EDF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GF=DF,設(shè)DF=x,BC=y,則有GF=x,AD=y,根據(jù)勾股定理列方程得到,于是得到結(jié)論;
(3)根據(jù)題意寫出解題思路即可.
解:(1)①如圖1;
②連接EG,EF,
在矩形ABCD中,
∵∠BAD=∠D=90°,
∵點A關(guān)于BE的對稱點為G,
∴AE=EG,
∵E是AD的中點,
∴A=DE,
∴DE=EG,
在Rt△DEF與Rt△GEF中,,
∴Rt△DEF≌Rt△GEF,
∴DF=GF;
(2)如圖2,連接EF,EG,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°,
∵E是AD的中點,
∴AE=ED=AD,
∵點A關(guān)于BE的對稱點為G,
∴EG=AE,∠EGB=∠EGF=∠A=∠D=90°,
∴EG=ED,∠EGF=∠D=90°,
∵EF=EF,
在Rt△DEF與Rt△GEF中,,
∴Rt△EGF≌Rt△EDF,
∴GF=DF,
設(shè)DF=x,BC=y,則有GF=x,AD=y,
∵F是DC的中點,
∴DC=2DF,
∴CF=x,DC=AB=BG=2x,
∴BF=BG+GF=3x,
在Rt△BCF中,∠C=90°,
由勾股定理得BC2+CF2=BF2,
即y2+x2=(3x)2,
∴,
∴;
(3)求的值的思路如下:
a.如圖3,連接EF和EG,由(2)可知GF=DF;
b設(shè)DF=x,BC=y,則有GF=x,AD=y,由DC=nDF,可用含有n和x的代數(shù)式表示BF;
c.利用勾股定理,用含有n和x的代數(shù)式表示y;
d計算出結(jié)果.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦DE垂直平分半徑OA,C為垂足,DE=3,連結(jié)DB,過點E作EM∥BD,交BA的延長線于點M。
(1)求⊙O的半徑;
(2)求證:EM是⊙O的切線;
(3)若弦DF與直徑AB相交于點P,當∠DPA=45°時,求圖中陰影部分的面積。
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【題目】(10分)如圖,△ABC中,以AC為直徑的⊙O與邊AB交于點D,點E為⊙O上一點,連接CE并延長交AB于點F,連接ED.
(1)若∠B+∠FED=90°,求證:BC是⊙O的切線;
(2)若FC=6,DE=3,F(xiàn)D=2,求⊙O的直徑.
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【題目】如圖,在矩形中, , ,為的中點,若為邊上的兩個動點,且,若想使得四邊形的周長最小,則的長度應(yīng)為__________.
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【題目】為了慶!傲粌和(jié)”,六年級同學(xué)在班會課進行了趣味活動.小舟同學(xué)在模板上畫出一個菱形ABCD,將它以點O為中心按順時針方向分別旋轉(zhuǎn)90°,180°,270°后得到如圖所示的圖形,其中∠ABC=120°,AB=2cm,然后小舟將此圖形制作成一個靶子,那么當我們投飛鏢時命中陰影部分的概率為( 。
A. B. 2﹣C. -1D.
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【題目】某學(xué)校為改善辦學(xué)條件,計劃采購A、B兩種型號的空調(diào),已知采購3臺A型空調(diào)和2臺B型空調(diào),需費用39000元;4臺A型空調(diào)比5臺B型空調(diào)的費用多6000元.
(1)求A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺各需多少元;
(2)若學(xué)校計劃采購A、B兩種型號空調(diào)共30臺,且A型空調(diào)的臺數(shù)不少于B型空調(diào)的一半,兩種型號空調(diào)的采購總費用不超過217000元,該校共有哪幾種采購方案?
(3)在(2)的條件下,采用哪一種采購方案可使總費用最低,最低費用是多少元?
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的大致圖象如圖所示,頂點坐標為(﹣2,﹣9a),下列結(jié)論:①abc>0;②4a+2b+c>0;③5a﹣b+c=0;④若方程a(x+5)(x﹣1)=﹣1有兩個根x1和x2,且x1<x2,則﹣5<x1<x2<1;⑤若方程|ax2+bx+c|=2有四個根,則這四個根的和為﹣4.其中正確的結(jié)論有( )
A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個
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【題目】如圖,∠AOB30°,點P是∠AOB內(nèi)的一定點,且OP6,若點M,N分別是射線OA,OB上異于點O的動點,則△PMN周長的最小值是__________.
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【題目】某圖書館計劃選購甲、乙兩種圖書.已知甲種圖書每本價格是乙種圖書每本價格的2.5倍,用800元單獨購買甲種圖書比用800元單獨購買乙種圖書要少24本.求:
(1)乙種圖書每本價格為多少元?
(2)如果該圖書館計劃購買乙種圖書的本數(shù)比購買甲種圖書本數(shù)的2倍多8本,且用于購買甲、乙兩種圖書的總經(jīng)費不超過1060元,那么該圖書館最多可以購買多少本甲種圖書?
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