Question

已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交與A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交與點(diǎn)C（0，﹣3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交與點(diǎn)D．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．

（2）若平行于x軸的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N（M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)），且MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑．

（3）若點(diǎn)M在第三象限，記MN與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E．

①當(dāng)線段MN=AB時(shí)，求tan∠CED的值；

②當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】代數(shù)幾何綜合題．

【分析】（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出c，再根據(jù)對稱軸求出b，即可得解；

（2）設(shè)圓的半徑為r，則MN=2r，再分直線MN在x軸上方與下方兩種情況表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式計(jì)算即可求出r；

（3）①令y=0解關(guān)于x的一元二次方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到AB，再求出MN的長度，根據(jù)拋物線的對稱性求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，即點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的對稱求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，利用銳角的正切的定義列式計(jì)算即可得解；

②根據(jù)直線BC的解析式可得∠BCO=45°，然后分∠CDE=90°時(shí)，△CDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)F與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同，即為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式，計(jì)算即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；∠CED=90°時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)對稱性求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，即為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式，計(jì)算即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），

∴c=﹣3，

對稱軸為直線x=﹣=1，

∴b=﹣2，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x²﹣2x﹣3；

（2）設(shè)圓的半徑為r，則直徑MN=2r，

①當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（r+1，r），

代入拋物線解析式得，（r+1）²﹣2（r+1）﹣3=r，

整理得，r²﹣r﹣4=0，

解得r₁=，r₂=（舍去）；

②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，（r+1）²﹣2（r+1）﹣3=﹣r，

整理得，r²+r﹣4=0，

解得r₃=，r₄=（舍去），

所以該圓的半徑為或；

（3）①令y=0，則x²﹣2x﹣3=0，

解得x₁=﹣1，x₂=3，

∴點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=3﹣（﹣1）=4，

∵M(jìn)N=AB，

∴MN=×4=3，

根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1+=，

代入二次函數(shù)解析式得，y=（）²﹣2×﹣3=﹣，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，﹣），

點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為﹣，

∵點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對稱點(diǎn)為E，﹣×2﹣（﹣3）=﹣，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），

則，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

x=1時(shí)，y=1﹣3=﹣2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣2），

tan∠CED==；

②∵直線BC的解析式為y=x﹣3，

∴∠BCO=45°，

若∠CDE=90°，則△CDE是等腰直角三角形，

∴點(diǎn)F與點(diǎn)D縱坐標(biāo)相同，為﹣2，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣2，

代入二次函數(shù)y=x²﹣2x﹣3得，x²﹣2x﹣3=﹣2，

整理得，x²﹣2x﹣1=0，

解得x₁=1﹣，x₂=1+，

∵點(diǎn)M在第三象限，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（1﹣，﹣2）；

若∠CED=90°，則點(diǎn)E與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同，為﹣2，

∵點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對稱點(diǎn)為E，

∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為=﹣，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣，

代入二次函數(shù)y=x²﹣2x﹣3得，x²﹣2x﹣3=﹣，

整理得，2x²﹣4x﹣1=0，

解得x₁=1+，x₂=1﹣，

∵點(diǎn)M在第三象限，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（1﹣，﹣），

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1﹣，﹣2）或（1﹣，﹣）．

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，直線與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)的定義，點(diǎn)的對稱，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，難點(diǎn)在于要分情況討論．