Question

已知，如圖拋物線y=ax2＋3ax＋c（a>0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,0），OC=3OB.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值；

（3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）y=x2+x-3；（2）；（3）P1（-3，-3），P2（，3），P3（，3）．

【解析】

試題分析：（1）已知B點(diǎn)坐標(biāo)，易求得OB、OC的長(zhǎng)，進(jìn)而可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線中，求出待定系數(shù)的值，即可得出拋物線的解析式．

（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得直線AC的解析式．由于AB、OC都是定值，則△ABC的面積不變，若四邊形ABCD面積最大，則△ADC的面積最大；可過D作x軸的垂線，交AC于M，x軸于N；易得△ADC的面積是DM與OA積的一半，可設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入直線AC和拋物線的解析式中，即可求出DM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出四邊形ABCD的面積與N點(diǎn)橫坐標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABCD的最大面積．

（3）本題應(yīng)分情況討論：

①過C作x軸的平行線，與拋物線的交點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求，此時(shí)P、C的縱坐標(biāo)相同，代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；

②將AC平移，令C點(diǎn)落在x軸（即E點(diǎn)）、A點(diǎn)落在拋物線（即P點(diǎn)）上；可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出P點(diǎn)縱坐標(biāo)（P、C縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等），代入拋物線的解析式中即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵B（1，0），

∴OB=1；

∵OC=3BO，

∴C（0，-3）；

∵y=ax2+3ax+c過B（1，0）、C（0，-3），

∴；

解這個(gè)方程組，得

∴拋物線的解析式為：y=x2+x-3

（2）過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M、N

在y=x2+x-3中，令y=0，

得方程x2+x-3=0

解這個(gè)方程，得x1=-4，x2=1

∴A（-4，0）

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b

∴

解這個(gè)方程組，得

∴AC的解析式為：y=-x-3（3分）

∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC

=•DM•（AN+ON）

=•DM

設(shè)D（x，x2+x-3），M（x，-x-3）

DM=-x-3-（x2+x-3）=- （x+2）2+3

當(dāng)x=-2時(shí)，DM有最大值3

此時(shí)四邊形ABCD面積有最大值

（3）如圖所示，

①過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形

∵C（0，-3）

∴設(shè)P1（x，-3）

∴x2+x-3=-3

解得x1=0，x2=-3

∴P1（-3，-3）；

②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形，

∵C（0，-3）

∴設(shè)P（x，3），

∴x2+x-3=3

x2+3x-8=0

解得或，

此時(shí)存在點(diǎn)P2（，3）和P3（，3）

綜上所述存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是P1（-3，-3），P2（，3），P3（，3）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．