Question

【題目】已知等邊三角形ABC中，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），D是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且DE=EC．
（1）當(dāng)E是AB邊上中點(diǎn)時(shí)，如圖1，線段AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）當(dāng)E是AB邊上任一點(diǎn)時(shí)，小敏與同桌小聰討論后，認(rèn)為（1）中的結(jié)論依然成立，并進(jìn)行了如下解答：解：如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F
（請(qǐng)你按照上述思路，補(bǔ)充完成全部解答過程）

（3）當(dāng)E是線段AB延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)時(shí)，如圖3．（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）

解：∵EF∥BC，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∵DE=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∴∠BED=∠FCE，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC，

∴DB=EF=AE；

（3）

解：如圖3，作EF∥AC交BD于F，

則△BEF為等邊三角形，

∴∠EFB=∠EBF=60°，

∴∠EFD=∠EBC=120°，

∵DE=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

在△DEF和△CEB中，

，

∴△DEF≌△CEB，

∴DF=BC，

∴DF+FB=AB+BE，

∴BD=AE．

【解析】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，E是AB邊上中點(diǎn)，
∴AE=BE，∠BCE= ∠BCA=30°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴∠EDB=∠BED，
∴BD=BE，
∴BD=AE，
所以答案是：=；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．