Question

【題目】若二次函數(shù)和的圖象關(guān)于原點成中心對稱，我們就稱其中一個函數(shù)是另一個函數(shù)的中心對稱函數(shù)，也稱函數(shù)和互為中心對稱函數(shù)．

求函數(shù)的中心對稱函數(shù)；

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，E，F(xiàn)兩點的坐標(biāo)分別為，，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點E和原點O，頂點為已知函數(shù)和互為中心對稱函數(shù)；

請在圖中作出二次函數(shù)的頂點作圖工具不限，并畫出函數(shù)的大致圖象；

當(dāng)四邊形EPFQ是矩形時，請求出a的值；

已知二次函數(shù)和互為中心對稱函數(shù)，且的圖象經(jīng)過的頂點當(dāng)時，求代數(shù)式的最大值．

Answer 1

【答案】；畫圖見解析；a的值為；當(dāng)時，有最大值，最大值為3．

【解析】

利用配方法得到，則此拋物線的頂點坐標(biāo)為，利用中心對稱的性質(zhì)得點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為，然后利用頂點式寫出函數(shù)的中心對稱函數(shù)解析式；

作P點關(guān)于原點的對稱點得到q點，然后大致畫出頂點為Q，經(jīng)過原點和F點的拋物線；

利用矩形的性質(zhì)得，則利用拋物線的對稱性得到，則可判定為等邊三角形，作于H，如圖，易得，，所以，設(shè)交點式，然后把P點坐標(biāo)代入即可得到a的值；

把化為頂點式得到拋物線的頂點坐標(biāo)為，利用關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征得到拋物線的頂點坐標(biāo)為，再把代入得，所以，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

，

此拋物線的頂點坐標(biāo)為，

點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為，

函數(shù)的中心對稱函數(shù)為，即；

如圖，

四邊形EPFG為矩形，

，

而，

為等邊三角形，

作于H，如圖，

則，，

，

設(shè)二次函數(shù)的解析式為，

把代入得，解得，

即a的值為；

，

拋物線的頂點坐標(biāo)為，

拋物線的頂點與拋物線的頂點關(guān)于原點對稱，

拋物線的頂點坐標(biāo)為，

把代入得，解得，

，

當(dāng)時，有最大值，最大值為3．