【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx(a<0)過點E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左邊),點C,D在拋物線上.設(shè)A(t,0),當(dāng)t=2時,AD=4.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)當(dāng)t為何值時,矩形ABCD的周長有最大值?最大值是多少?

(3)保持t=2時的矩形ABCD不動,向右平移拋物線.當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G,H,且直線GH平分矩形的面積時,求拋物線平移的距離.

【答案】(1);(2)當(dāng)t=1時,矩形ABCD的周長有最大值,最大值為;(3)拋物線向右平移的距離是4個單位.

【解析】

(1)由點E的坐標(biāo)設(shè)拋物線的交點式,再把點D的坐標(biāo)(2,4)代入計算可得;
(2)由拋物線的對稱性得BE=OA=t,據(jù)此知AB=10-2t,再由x=tAD=,根據(jù)矩形的周長公式列出函數(shù)解析式,配方成頂點式即可得;
(3)由t=2得出點A、B、C、D及對角線交點P的坐標(biāo),由直線GH平分矩形的面積知直線GH必過點P,根據(jù)ABCD知線段OD平移后得到的線段是GH,由線段OD的中點Q平移后的對應(yīng)點是PPQOBD中位線,據(jù)此可得.

(1)設(shè)拋物線解析式為,

當(dāng)時,,

的坐標(biāo)為,

將點坐標(biāo)代入解析式得,

解得:,

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

(2)由拋物線的對稱性得,

,

當(dāng)時,,

矩形的周長

,

,

,

當(dāng)時,矩形的周長有最大值,最大值為

(3)如圖,

當(dāng)時,點、、、的坐標(biāo)分別為、、、,

矩形對角線的交點的坐標(biāo)為,

直線平分矩形的面積,

的中點,

,

由平移知,

的中位線,

,

所以拋物線向右平移的距離是4個單位.

練習(xí)冊系列答案
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