Question

如圖1，平面直角坐標系中，四邊形OABC是長方形，O為坐標原點，點A（0，4）點C（2，0），將長方形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，得到四邊形EFGH，（點E與點O重合）．
（1）求點F的坐標，并判斷點F是否在線段BC上；
（2）如圖2，將四邊形EFGH沿y軸向下平移m個單位，當(dāng)四邊形OFCE是平行四邊形時，求m的值；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，過點O作直線l將?OFCE分為面積比為1：3的兩部分，求直線l的解析式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求一個點的坐標，就需要知道該點到x軸，y軸分別的距離．所以過點F作輔助線垂直與y軸，表示出來F點橫坐標的長度是必須的步驟，至于其長度可以利用30°直角三角形的邊長特性求解．而判斷一個點是否在一條線上，只需求出該線的方程，再判斷點的坐標是否滿足方程即可．
（2）動點問題關(guān)鍵是找不動的內(nèi)容，圖形在向下平移過程中，都保持FC∥OE，所以根據(jù)平行四邊形判定的性質(zhì)，只需再保證FC=OE即可．
（3）面積的分割一般為等底不等高，或者等高不等底．在這個圖象中考慮一四象限部分，l只可能出現(xiàn)在OC的上方，下方或者在OC上．當(dāng)在OC上是，由于OC為?OFCE的對角線，則l將這個四邊形分為面積相等的兩部分．那么若是面積比為1：3，那么只需讓l將△OFC或者△OCE分成相等的兩部分即可，即過FC的中點，或者EC的中點．

解答：解：
（1）過點F作FI⊥AO，交AO于點I
在△FIO中，
∵∠FOI=30°，F(xiàn)O=4
∴FI=

1

2

FO=

1

2

•4=2
IO=

FO2-FI2

=2

3

∵F的縱坐標等于IO的長
∴F的坐標為（2，2

3

）
又 線段BC方程為x=2（0≤y≤4）
∴F在線段BC上
（2）四邊形FGHE向下平移m個單位，則其頂點F、E坐標如下：
F（2，2

3

-m），E（0，-m）
∵O、C坐標分別為：O（0，0），C（2，0）
∴OE=0-（-m）=m，F(xiàn)C=2

3

-m-0=2

3

-m
∵四邊形OFCE為平行四邊形
∴OE=FC，即m=2

3

-m
∴m=

3

（3）作△OFC的中線OJ交FC于J，作△OCE的中線OK交CE于K
則S_△OFJ=S_△OCJ，S_△OCK=S_△OEK
在?OFCE中，
∵S_△OFC=S_△OCE
∴S_△OFJ：S_{四邊形OJCK}
=S_△OFJ：（S_△OJC+S_△OCE）
=S_△OFJ：（S_△OFJ+2S_△OFJ）
=1：3
同理，S_△OKE：S_{四邊形OFCK}=1：3
∴直線l過O、J兩點，或過O、K兩點．
∵O（0，0），C（2，0），E（0，-

3

），F(xiàn)（2，

3

）
∴J（2，

3

2

），K（1，-

3

2

）
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
分別代入O、J兩點，整理得l_OJ：y=

3

4

x；
分別代入O、J兩點，整理得l_OK：y=-

3

2

x．

點評：本題的綜合應(yīng)用比較強，內(nèi)容涉及到求點左邊及直線解析式等．首先學(xué)生要對相關(guān)概念及其常規(guī)求解步驟非常清晰．另外題目還涉及平行四邊形的一些性質(zhì)及圖象平移坐標點的變化規(guī)律等內(nèi)容也需要學(xué)生知識扎實．最后總結(jié)一下本題涉及到的一些常用技巧，一當(dāng)我們求某個量的時候，最后先作輔助線表示出來再計算，這樣容易獲得思路．二求動點問題時，找到圖形或點運動過程中，什么量是不變的，往往這就會是題目突破的思路．三對于面積分割的問題是我們常常被考察的，基本用到的都是三角形之間的同高不同底，同地不同高的一些性質(zhì)規(guī)律，所以學(xué)生需要深入研究熟記這些規(guī)律．