Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A（﹣2，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1．

（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式：；
（2）把線段AC沿x軸向右平移，設(shè)平移后A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、C′，當(dāng)C′落在拋物線上時(shí)，求A′、C′的坐標(biāo)；
（3）除（2）中的點(diǎn)A′、C′外，在x軸和拋物線上是否還分別存在點(diǎn)E、F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣ x2+x+4
（2）

解：由拋物線y=﹣ x2+x+4可知C（0，4），

∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，

∴C′（2，4），

∴A′（0，0）

（3）

解：存在．

設(shè)F（x，﹣ x2+x+4）．

以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

①若AC為平行四邊形的邊，如答圖1﹣1所示，則EF∥AC且EF=AC．

過(guò)點(diǎn)F1作F1D⊥x軸于點(diǎn)D，則易證Rt△AOC≌Rt△E1DF1，

∴DE1=2，DF1=4．

∴﹣ x2+x+4=﹣4，

解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ．

∴F1（1+ ，﹣4），F(xiàn)2（1﹣ ，﹣4）；

∴E1（3+ ，0），E2（3﹣ ，0）．

②若AC為平行四邊形的對(duì)角線，如答圖1﹣2所示．

∵點(diǎn)E3在x軸上，∴CF3∥x軸，

∴點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

∴F3（2，4），CF3=2．

∴AE3=2，

∴E3（﹣4，0），

綜上所述，存在點(diǎn)E、F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

點(diǎn)E、F的坐標(biāo)為：E1（3+ ，0），F(xiàn)1（1+ ，﹣4）；E2（3﹣ ，0），F(xiàn)2（1﹣ ，﹣4）；E3（﹣4，0），F(xiàn)3（2，4）

【解析】解：（1）∵A（﹣2，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1．
∴B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入拋物線的表達(dá)式為：
，
解得： ，
∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+x+4；
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．