【題目】如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于C(0,3),頂點(diǎn)為D(1,4),對(duì)稱軸為DE.
(1)拋物線的解析式是;
(2)如圖(2),點(diǎn)P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),P′是P關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn),連接PE,過(guò)P′作P′F∥PE交x軸于F.設(shè)S四邊形EPP′F=y,EF=x,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求y的最大值;
(3)在(1)中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△BCQ成為以BC為直角邊的直角三角形?若存在,求出Q的坐標(biāo);若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)y=﹣x2+2x+3
(2)
解:令PP′交DE于G,
∵PP′∥AF,PE∥FP′,
∴四邊形FEP′P是平行四邊形,
∴PP′=EF,
∴△DPP′∽△DAB,
∴ ,
又∵A(﹣1,0)、B(3,0)、D(1,4),EF=x,
∴AB=4,DE=4,PP′=x,
∴
∴GE=4﹣x,
又∵S四邊形EPP'F=EFGE,
∴y=x(4﹣x)
∴y=x(4﹣x)=﹣(x﹣2)2+4,x=2時(shí),y的最大值是4
(3)
解:假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)Q(x,y),
作OH⊥BC于H,
∵Rt△BCQ中BC是直角邊,
∴Rt△BCQ的另一直角邊與OH平行.
又∵OC=OB,CO⊥OB,OB=3,OC=3,
∴Rt△BCQ的另一直角邊所在的直線可以由直線OH向上或向右平移3個(gè)單位得到(如圖).
由已知得直線OH的解析式是y=x,
∴Rt△BCQ的另一直角邊所在的直線解析式是:y=x+3或 y=x﹣3
點(diǎn)Q為直線y=x+3和拋物線交點(diǎn),
則 ,
解得:x=1,
∴y=4;
②點(diǎn)Q為直線y=x﹣3和拋物線交點(diǎn),
則 ,
解得:x=﹣2,
∴y=﹣5,
∴存在滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是:(1,4)和(﹣2,﹣5)
【解析】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,
則c=3,
∵拋物線經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),∴
解得:a=﹣1,b=2,
所以答案是 y=﹣x2+2x+3;
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C(0,1),點(diǎn)D為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E為第一象限內(nèi)一點(diǎn),且CE⊥CD,CE=CD.
(1)試說(shuō)明:∠EBC=∠CAB ;
(2)取DE的中點(diǎn)F,連接OF,試判斷OF與AC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,試探索O、D、F三點(diǎn)能否構(gòu)成等腰三角形,若能,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,D是BC的中點(diǎn).
(1)作圖: ①過(guò)B作AC的平行線BH;
②過(guò)D作BH的垂線,分別交AC,BH,AB的延長(zhǎng)線于E,F(xiàn),G.
(2)在圖中找出一對(duì)全等的三角形,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC與△CED均為等邊三角形,且B,C,D三點(diǎn)共線.線段BE,AD相交于點(diǎn)O,AF⊥BE于點(diǎn)F.若OF=1,則AF的長(zhǎng)為( )
A. 1 B. C. D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,D是BC的中點(diǎn).
(1)作圖: ①過(guò)B作AC的平行線BH;
②過(guò)D作BH的垂線,分別交AC,BH,AB的延長(zhǎng)線于E,F(xiàn),G.
(2)在圖中找出一對(duì)全等的三角形,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰梯形ABCD中,∠B=60°,P、Q同時(shí)從B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度分別沿B→A→D→C和B→C→D方向運(yùn)動(dòng)至相遇時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),△BPQ的面積為S(平方單位),S與t的函數(shù)圖象如圖2,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.當(dāng)t=4秒時(shí),S=4
B.AD=4
C.當(dāng)4≤t≤8時(shí),S=2 t
D.當(dāng)t=9秒時(shí),BP平分梯形ABCD的面積
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)P是BC上一點(diǎn),PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別為點(diǎn)R、S,PR=PS,點(diǎn)Q是AC上一點(diǎn),且AQ=PQ,
(1)求證:QP∥AR;
(2)AR、AS相等嗎?說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A(﹣2,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),其對(duì)稱軸為直線x=1.
(1)直接寫出拋物線的解析式:;
(2)把線段AC沿x軸向右平移,設(shè)平移后A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、C′,當(dāng)C′落在拋物線上時(shí),求A′、C′的坐標(biāo);
(3)除(2)中的點(diǎn)A′、C′外,在x軸和拋物線上是否還分別存在點(diǎn)E、F,使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,求出E、F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,直線AB與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C(0,2),且與反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D,OD=2.
(1)求直線AB的解析式;
(2)若點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn),且△PBC的面積等于3,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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