Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝與x軸、y軸分別相交于點A、B，直線l2與直線y＝﹣x平行，且與直線l1相交于點B，與x軸交于點C．

（1）求點C坐標；

（2）若點P是y軸右側直線l1上一動點，點Q是直線l2上一動點，點D（﹣2，6），求當S△PBC＝S四邊形AOBD時，點P的坐標，并求出此時，PQ+DQ的最小值；

（3）將△AOB沿著直線l2平移，平移后記為△A1O1B1，直線O1B1交11于點M，直線A1B1交x軸于點N，當△B1MN是等腰三角形時，求點A1的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（3，0）；

（2）（﹣，﹣ ），PQ+DQ的最小值為 ；

（3）A1的橫坐標為： 或 或0或﹣．

【解析】

（1）直線l1：y＝x+與x軸、y軸分別相交于點A、B，則點A、B的坐標分別為：（﹣，0）、（0，），直線l2與直線y＝﹣x平行，且過點B，則直線l2的表達式為：y＝﹣x+，即可求解；

（2）S四邊形AOBD＝S矩形MDNO﹣（S△BND﹣S△ABO﹣S△AMD）＝，S△PBC＝2×2m＝7，解得：m＝，故點P（，），作點P關于直線l2的對稱點P′，連接DP′交l2于點Q，則點Q為所求點，PQ+DQ的最小值為DP′，即可求解；

（3）分B1M＝B1N、B1M＝MN、B1N＝MN三種情況，分別求解即可．

解：（1）直線l1：y＝x+與x軸、y軸分別相交于點A、B，則點A、B的坐標分別為：（﹣，0）、（0，），

直線l2與直線y＝﹣x平行，且過點B，

則直線l2的表達式為：y＝﹣x+，令y＝0，則x＝3，

故點C（3，0）；

（2）過點D分別作x、y軸的垂線交于點M、N，設點P（m，m+），

S四邊形AOBD＝S矩形MDNO﹣（S△BND﹣S△ABO﹣S△AMD）＝，

S△PBC＝2×2m＝7，解得：m＝，故點P（，），

作點P關于直線l2的對稱點P′，連接DP′交l2于點Q，則點Q為所求點，PQ+DQ的最小值為DP′，

則點P′、P關于點B對稱，由中點公式得：點P′（﹣，﹣），而D（﹣2，6），

故：DP′＝，

故PQ+DQ的最小值為；

（3）設三角形OAB向左平移m個單位，則向上平移了m個單位，

則點B1的坐標（﹣m，m+），點M（﹣m，﹣m+），則A1的橫坐標為：﹣﹣m，

設直線A1B1的表達式為：y＝x+b，將點B1的坐標代入上式并解得：

直線A1B1的表達式為：y＝x+2m+，

令y＝0，則點N（﹣2m﹣，0），

則B1M＝（2m）2＝12m2，NB2＝（﹣m﹣）2+（m+）2，MN2＝（﹣m﹣）2+，

當B1M＝B1N時，，解得：m＝；

當B1M＝MN時，同理可得：m＝﹣ 或；

當B1N＝MN時，解得：m＝0（舍去）；

綜上A1的橫坐標為： 或 或0或﹣．